Reguläre Präzession

mini|Abb. 1: Reguläre Präzession eines symmetrischen Kreisels

Bei der regulären Präzession rotiert ein Kreisel mit jeweils konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine raumfeste Präzessionsachse und eine körperfeste Achse, die einen gleichbleibenden Winkel einschließen; siehe Animation in Abb. 1.

Die körperfeste Achse ist bei symmetrischen Kreiseln wie in der Animation sowie bei der Grioliʹschen Präzession in Abb. 8 orthogonal zu einer Kreisschnittebene des Trägheitsellipsoids des Kreisels. Bei den Staude-Drehungen fallen die raumfeste und die körperfeste Achse zusammen und sind lotrecht.Grammel (1950), S. 171 ff. Die reguläre Präzession des symmetrischen Kreisels ist das kreiseltheoretische Analogon zur Kreisbewegung eines Massenpunkts infolge einer Zentralkraft, siehe #Mechanische Interpretation.

Dissipative Reibeffekte und gleichmäßige Rotationen um die senkrechte Figurenachse symmetrischer Kreisel sind beim Euler-Kreisel und Lagrange-Kreisel nachzuschlagen.

Die reguläre Präzession ist ein wichtiger Punkt in der Kreiseltheorie, nicht zuletzt weil die Erdrotation einer regulären Präzession gleicht, wobei Abweichungen von der Theorie aufgrund der Verformbarkeit und schwankenden Massenverteilung des Erdkörpers auftreten.Grammel (1920), S. 293 ff.

Reguläre Präzession symmetrischer Kreisel Jeder ansonsten kräftefreie Kreisel kann durch geeignete Drehmomente zu beliebigen regulären Präzessionen gezwungen werden. Der Widerstand des Kreisels äußert sich dabei als Kreiselwirkung, die beim symmetrischen schweren Kreisel im dynamischen Gleichgewicht mit dem Moment der Gewichtskraft sein kann, wenn die Eigendrehung um die Figurenachse, die Präzessionsgeschwindigkeit μ und die Neigung des Kreisels gemäß

auf seine Massenverteilung abgestimmt sind. Darin ist Fg die Gewichtskraft, s der Abstand des Massenmittelpunkts vom Aufstandspunkt und Lf die axiale Komponente des Drehimpulses.

Erzwungene reguläre Präzession symmetrischer Kreisel Ein symmetrischer Kreisel soll mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die lotrechte raumfeste Präzessionsachse êz und mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ν :=  um die körperfeste Figurenachse ê3 drehen, die dabei den gleichbleibenden Neigungswinkel ϑ mit êz einschließt (Bezeichnungen siehe Kreiseltheorie#Bezugssysteme und Euler-Winkel.) Bei einem Kreisel mit axialem Trägheitsmoment C und äquatorialem A wird dementsprechend

mit u := cos(ϑ) = êz ‧ ê3 vorgegeben. Wie bei der Nutation eines kräftefreien Euler-Kreisels liegen die Winkelgeschwindigkeit, der Drehimpuls, die Präzessionsachse und die Figurenachse in einer Ebene, der Präzessionsebene, nur fallen bei der erzwungenen Präzession Drehimpuls und Präzessionsachse nicht zusammen.Grammel (1920), S. 67.

Bedingung an den Drehimpuls mini|Abb. 2:Kräftepaar aus Gewichtskraft Fg und entgegengesetzt gleich großer Aufstandskraft -Fg beim regulär präzedierenden Kreisel. Aus der Drehung des Drehimpulses resultiert eine Kreiselwirkung, die nur unter Auflagen vom Drehmoment der Gewichtskraft dynamisch ausgeglichen werden kann.

Die Kreiselwirkung ist unmittelbar aus der erzwungenen regulären Präzession eines Kugelkreisels mit A = C und identischem Drehimpuls ersichtlich. Da die Drehimpulse übereinstimmen, nicht so aber die Trägheitsmomente, präzediert der Kugelkreisel mit anderen Winkelgeschwindigkeiten μk, νk:

Hieraus ist Aμk = Aμ = Lv und Aνk = Lf ablesbar. Die Kreiselwirkung ist umgekehrt gleich der Geschwindigkeit des Drehimpulses, die gleich der des axialen Drehimpulses Lf ist, der beim Kugelkreisel mit μk = μ um êz kreist:

Das ist analog zu , wo sich die Geschwindigkeit bei einer reinen Rotation mit Winkelgeschwindigkeit aus dem Kreuzprodukt „ד mit dem Abstand zu einem Fixpunkt auf der Drehachse ergibt. Die Kreiselwirkung hängt nur vom Drehimpuls und seiner Zeitableitung ab und ist daher beim symmetrischen Kreisel mit A ≠ C gleich der beim Kugelkreisel.Grammel (1920), S. 66 ff.

Die Gewichtskraft Fg und die entgegengesetzt gleich große Aufstandskraft bilden, wie in Abb. 2 dargestellt, ein Kräftepaar, das dem Schweremoment entspricht. Es ist nur dann parallel zur Kreiselwirkung, wenn der Massenmittelpunkt gemäß in der Präzessionsebene liegt, aber die erste Komponente ρêz keine Eigendrehung um die Figurenachse mitmacht, was beim Spielkreisel in Abb. 3 und bei den #Staude-Drehungen symmetrischer Kreisel der Fall ist. Das Schweremoment lautet dann:

Dem Drallsatz zufolge vermag dieses Moment eine reguläre Präzession zu unterhalten, wenn sich Moment und Kreiselwirkung im dynamischen Gleichgewicht befinden, das bei

eintritt. Dieses Ergebnis betrifft

mini|Abb. 3: Spielkreisel mit kugelförmiger Kreiselspitze mit Radius ρ um dem Mittelpunkt K im Abstand s vom Massenmittelpunkt G

Lagrange-Kreisel Hier ist der Stützpunkt der Bezugspunkt für das Gewichtsmoment, die Massenträgheitsmomente und den Drehimpuls. Falls die untere Kreiselspitze mit beachtlichem Radius ρ kugelförmig ist, liegt der Bezugspunkt im Mittelpunkt K der Kugel, siehe Abb. 3. Symmetrische Spielkreisel Das Stützmoment Fgs ist dasselbe wie beim Lagrange-Kreisel, nur ist hier der Massenmittelpunkt der Bezugspunkt. Unter Einfluss von Gleitreibung nimmt der Kreisel mit der Zeit eine lotrechte Position ein oder verfällt in eine reguläre Präzession, bei der die runde untere Kreiselspitze ohne Schlupf auf dem Untergrund abrollt.Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 340. Symmetrische Euler-Kreisel Hier ist der Drehimpuls konstant und es tritt weder eine Gewichtskraft noch eine Kreiselwirkung auf. Entsprechend ist Fgs = Lf = 0 und der konstante Drehimpuls weist in Richtung der Präzessionsachse êz, was weniger eine Einschränkung für den Drehimpuls darstellt, als vielmehr die Voraussetzung dafür ist, dass der kräftefreie Kreisel hier als Spezialfall auftritt. Die Komponente Lv ist gleich dem Betrag L des Drehimpulses, der die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist und der axiale Drehimpuls L3 = L cos(ϑ) bildet in dem Dreieck die Ankathete zum Neigungswinkel ϑ der Figurenachse.

Konstanten der Bewegung Im Drehimpuls und der Winkelgeschwindigkeit ist nur die Figurenachse ê3 zeitabhängig: Die Figurenachse rotiert mit gleichbleibender Neigung um die Präzessionsachse êz. Unveränderlich sind dabei neben den vorgegebenen μ und ν die Winkelgeschwindigkeiten

die schon oben angegebenen Drehimpulse

sowie

und die Rotations-, Lage- und Gesamtenergie

denn sie lassen sich mit angesetzten Konstanten μ, ν sowie u = cos(ϑ) ausdrückenRauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 342.. Die Lageenergie ist gleich der Arbeit der Gewichtskraft Fg entlang des lotrechten Weges ρ + su, und „·“ bildet das Skalarprodukt.

Mechanische Interpretation Beim schweren Kreisel erscheint paradox, dass er der Gewichtskraft nicht nachgibt und den Neigungswinkel ϑ vergrößert, wie er es im Ruhezustand täte, sondern senkrecht zur Kraft ausweicht. Das erklärt sich aus der Regel vom gleichsinnigen Parallelismus, nach der der Kreisel versucht, seinen Drehimpuls dem Drehsinn des Moments gleichsinnig parallel auszurichten. Das Moment wirkt aber waagerecht, was dieses Paradoxon aufklärt. Die Figurenachse beginnt sich eher gegen die Knotenachse êz × ê3 zu neigen und kommt ihr nur deshalb nicht näher, weil sich das Schweremoment im gleichen Sinn weiterdreht.

Dieses Verhalten ähnelt der von einer Zentripetalkraft unterhaltenen Kreisbewegung eines Massenpunkts um ein Zentrum:Grammel (1920), S. 68 f. Ebenso wenig, wie die Figurenachse des Kreisels der Knotenachse näher kommt, die gleich der Richtung des Schweremoments ist, kommt der umlaufende Massenpunkt dem Kraftzentrum näher. Die Zentripetalkraft muss, so wie das Schweremoment beim Kreisel, eine auf die Geschwindigkeit abgestimmte Größe haben. Sowenig wie die Zentripetalkraft Arbeit leistet und die Energie des Massenpunkts erhöht, so leistet auch das Schweremoment beim Kreisel keine Arbeit und bleibt der Energiegehalt des Kreisels erhalten. Die Zentripetalkraft allein vermag die Kreisbewegung nicht einzuleiten; dazu bedarf es eines dem Abstand vom Zentrum entsprechenden tangentialen Stoßes auf den ruhenden Massenpunkt. Ebenso muss der um seine Figurenachse gleichförmig rotierende Kreisel einen zur Figurenachse senkrechten wohldosierten Drehstoß erhalten, damit eine reguläre Präzession einsetzt.

Präzessionsgeschwindigkeiten Weil Lf = (C - A)μu + Cν von μ abhängt, resultiert aus der #Bedingung an den Drehimpuls μLf  = Fgs eine quadratische Gleichung

mit den LösungenGrammel (1920), S. 90, Magnus (1971), S. 118 ff.:

Allgemeiner Fall

Beim gestreckten Kreisel (C < A) sind folgende Fälle zu unterscheiden:Magnus (1971), S. 118. 0° < ϑ < 90°, 1 > u = cos(ϑ) > 0: Aufrechter gestreckter Kreisel, dessen Präzession von oben gesehen gleichsinnig zur Eigendrehung ist: C² ν² < |4 (C - A) Fgs u|: Eine reguläre Präzession ist nicht möglich. C² ν² = |4 (C - A) Fgs u|: Es gibt eine Präzessionsgeschwindigkeit. C² ν² > |4 (C - A) Fgs u|: Es gibt zwei Präzessionsgeschwindigkeiten, siehe Abb. 4 und 5. ϑ = 90°, u = 0: Horizontale Figurenachse, es gibt eine zur Eigendrehung gleichsinnige Präzession, die der Bedingung C μ ν = Fgs gehorcht. 90° < ϑ < 180°, 0 > u > -1: Hängender gestreckter Kreisel, der zwei Präzessionsgeschwindigkeiten mit unterschiedlichem Vorzeichen annehmen kann. Bei der schnelleren sind Präzession und Eigendrehung von oben gesehen gleichsinnig, bei der langsameren gegensinnig.

In der Formel für die Präzessionsgeschwindigkeit kommen C - A und u nur als Produkt (C - A) u vor, weswegen sich der hängende gestreckte Kreisel mit u, C - A < 0 vergleichbar verhält wie der aufrechte abgeplattete mit u, C - A > 0 und der hängende abgeplattete ebenso wie der aufrechte gestreckte:

Die folgenden Spezialfälle sind bemerkenswert.

Schneller Kreisel Beim schnellen Kreisel, bei dem C² ν² ≫ 4 |(C - A) Fgs u| ist, gilt mit u = cos(ϑ) die Näherung

Bei der langsamen Präzession (2) ist die Präzessionsgeschwindigkeit gleichsinnig und umgekehrt proportional zur Eigendrehung ν und außerdem vom Neigungswinkel unabhängig. Die schnelle Präzession (1) entspricht der Nutation des kräftefreien Euler-Kreisels. Dieses die Schwerkraft vernachlässigende Verhalten begründet sich damit, dass beim schnellen Kreisel die potentielle Energie gegenüber der Rotationsenergie eine untergeordnete Rolle spielt.

Die Präzessionsfrequenz entspricht derjenigen bei der pseudoregulären Präzession des schnellen Lagrange-Kreisels. Durch sekundäre Effekte wie Reibung und Verformung geht die pseudoreguläre Präzession rasch in die reguläre über.Klein und Sommerfeld (2010), S. 292.

Nutation des Euler-Kreisels Beim Euler-Kreisel ist Fgs = 0 und die quadratische Gleichung reduziert sich auf

Bei μ = 0 dreht sich der Kreisel nur um die Figurenachse oder ruht gänzlich. Die Nutation des Euler-Kreisels erfolgt mit (C - A) u μ = -C ν in Abhängigkeit von u = cos(ϑ) wie im Fall (1) beim schnellen Kreisel.

Sphärisches Pendel mini|Abb. 6: Kreisel als aufrechtes sphärisches Pendel

Der Kreisel ohne Eigendrehung (ν = 0) entspricht einem sphärischen Pendel, dessen reguläre Präzession darin besteht, dass der Pendelkörper auf einem Kreiskegel umläuft. Hier lautet die quadratische Gleichung

Bei kleinem axialem Trägheitsmoment (C < A) ist eine Präzession nur in hängender Position möglich (mit u = cos(ϑ) < 0). Bemerkenswert ist der andere Fall mit axialer Massenträgheit C > A, wo das sphärische Pendel wie in Abb. 6 nur eine reguläre Präzession mit einem Massenmittelpunkt oberhalb des Aufstandspunkts ausführen kann (mit u > 0).

Staude-Drehungen symmetrischer Kreisel mini|Abb. 7: Karussell-Bewegung eines Kowalewskaja-Kreisels