Der Zerlegungssatz von Cheeger und Gromoll ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er ist von Bedeutung für die Klassifikation Riemannscher Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Ricci-Krümmung.
Satz Sei eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Ricci-Krümmung, also . Wenn es eine eingebettete Geodäte gibt, dann ist isometrisch zu für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Ricci-Krümmung, also .
Geschichte
Für Flächen wurde der Satz 1936 von Stefan Cohn-Vossen bewiesen.S. Cohn-Vossen: Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken. Матем. сб., 1(43):2 (1936), 139–164. Den allgemeinen Satz für Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Schnittkrümmung bewies 1959 W. A. Toponogow. V. A. Toponogov: Riemannian spaces containing straight lines. (Russisch) Dokl. Akad. Nauk SSSR 127 (1959), 977–979. Den Satz in obiger Form mit der schwächeren Bedingung nichtnegativer Ricci-Krümmung fanden 1971 Jeff Cheeger und Detlef Gromoll.Jeff Cheeger, Detlef Gromoll: The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature. Journal of Differential Geometry 6 (1971/72), 119–128.
Der Satz wurde später auch für Lorentz-Mannigfaltigkeiten, deren Ricci-Krümmung in Raumrichtung nichtnegativ ist, bewiesen.J.-H. Eschenburg: The splitting theorem for space-times with strong energy condition. J. Differential Geom. 27 (1988), no. 3, 477–491.Gregory Galloway: The Lorentzian splitting theorem without the completeness assumption. J. Differential Geom. 29 (1989), no. 2, 373–387.Richard P. A. C. Newman: A proof of the splitting conjecture of S.-T. Yau. J. Differential Geom. 31 (1990), no. 1, 163–184.
Literatur E. Heintze, J.-H. Eschenburg: An elementary proof of the Cheeger-Gromoll splitting theorem, Ann. Glob. Anal. and Geom. 2 (1984), 141–151.
Einzelnachweise
Cheeger und Gromoll, Zerlegungssatz von