Dreiteilung des Winkels

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Unter dem Problem der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie die Frage, ob man einen beliebigen Winkel mit Hilfe von Zirkel und Lineal (mit den euklidischen Werkzeugen) in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar. Obwohl das Problem der Winkeldreiteilung bis in die Antike zurückreicht, konnte erst im 19. Jahrhundert mit Methoden der Algebra gezeigt werden, dass es mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht gelöst werden kann.

Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Einheitsstrecke konstruieren lassen. Um zu zeigen, dass es keine allgemeine Konstruktion für die Winkeldreiteilung gibt, reicht die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels: Beispielsweise ist es nicht möglich, den konstruierbaren Winkel 60° zu dritteln, da 20° nicht konstruierbar ist. Es gibt jedoch auch Winkel, die mit Zirkel und Lineal nicht konstruiert, aber mit diesen Mitteln gedrittelt werden können (Näheres in Abzählbarkeit der Menge der drittelbaren Winkel), wenn sie zu Beginn gegeben sind.

Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt. In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal.

Klassisches Problem mini|hochkant=1.7|Beispiele für drittelbare Winkel: Für ein Drittel des Winkels 9° bedarf es z. B. zuerst der Winkel 30° und 18° um schließlich 3° zu erhalten (regelmäßiges Fünfeck). Nach der klassischen Vorgabe zählt eine Lösung nur, wenn der gegebene Winkel allein mit Hilfe eines Zirkels und eines nichtskalierten Lineals in drei gleich große Teile aufgeteilt wird. Dies ist, wie bereits erwähnt, im Allgemeinen nicht möglich. Bei speziellen Winkeln ist eine Dreiteilung des Winkels mit diesen Werkzeugen aber möglich, beispielsweise bei jedem ganzzahligen Vielfachen von 9°.

Schon die alten Griechen versuchten vergeblich, eine allgemeine Lösung für beliebige Winkel zu finden. Um das Jahr 1830 schuf der französische Mathematiker Évariste Galois die Grundlagen für den späteren Beweis, dass dies nicht allgemein möglich ist. Warum dies unmöglich ist, wird im Abschnitt Beweis der Unmöglichkeit verdeutlicht.

Eine allgemeine Dreiteilung ist daher nur möglich, wenn neben Zirkel und Lineal auch zusätzliche Hilfsmittel Verwendung finden, etwa eine Trisektrix, oder wenn auf dem Lineal Markierungen angebracht werden. Andererseits sind mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen darstellbar (siehe Abschnitt Näherungsverfahren).

Geschichte Antike Die Griechen waren es, die im 5. Jahrhundert v. Chr. das Problem, einen beliebigen Winkel in drei gleich große Winkel zu unterteilen, erkannten. Vermutlich trat dieses Problem in den Vordergrund mathematischen Interesses, als sie versuchten, für astronomische Zwecke eine Sehnentafel aufzustellen.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, S. 44. Sie strebten nach einer Lösung, die allein mit Zirkel und einem unmarkierten Lineal – eine auf Oinopides von Chios (~ 440 v. Chr.) zurückgehende Beschränkung – zu bewältigen sei, aber sie fanden keine, die dieser Vorgabe gerecht wurde. Beispielsweise stößt man bei der Sehnentabelle des Claudius Ptolemäus im Almagest auf die elementargeometrisch nicht mehr zu bewältigende Aufgabe, aus der Sehne für die Sehne für zu gewinnen. Die für die Sehnengeometrie erforderliche Trigonometrie wurde viele Jahrhunderte bis Nikolaus Kopernikus (1473–1543) lediglich als Bestandteil der Astronomie aufgefasst und dementsprechend in astronomischen Werken behandelt. Das erste selbständige Lehrbuch der Trigonometrie verfasste Regiomontanus um 1464, doch erschien es erst posthum, fast 70 Jahre später, im Jahr 1533.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, S. 78.

Hippias von Elis (um 460 bis um 400 v. Chr.) fand als Erster um 422 v. Chr. eine Lösung mithilfe eines sogenannten zusätzlichen Hilfsmittels. Es war eine Hilfskurve, sie wurde bekannt als die Trisektrix des Hippias oder Quadratrix des Hippias. Diese ist sogar für die Teilung eines Winkels in gleiche Teile erdacht. Der Name Quadratrix rührt daher, dass sie auch das Problem der Kreisquadratur löst. Daraus kann gefolgert werden, dass es sich um eine transzendente Kurve handelt. Dennoch ist sie leicht beschreibbar, da sie durch zwei einfache Bewegungen erzeugt wird.

Archimedes von Syrakus (287 bis 212 v. Chr.) fand eine pragmatische Lösung. Obgleich die Zuweisung an Archimedes nicht gesichert ist, existiert eine nur auf Arabisch überlieferte Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks. Während die regelmäßigen Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecke sich bekanntlich mit Zirkel und Lineal in einem gegebenen Kreis beschreiben lassen, geht das beim Siebeneck nicht mehr. Algebraisch führt die Teilung des Kreises in sieben gleiche Teile auf eine kubische Gleichung und gehört daher der gleichen Problemklasse an wie die Würfelverdoppelung und die Winkeldreiteilung. Die angeblich von Archimedes gefundene Konstruktion arbeitet zwar auch nur mit diesen beiden Geräten, verwendet das Lineal allerdings in einer in der euklidischen Geometrie nicht erlaubten Weise: Es wird so lange um einen festen Punkt gedreht, bis zwei Dreiecke, von denen eines bei der Drehung anwächst, während das andere abnimmt, flächengleich sind. Es ist dies ein besonderer Typus einer Einschiebekonstruktion oder sog. Neusis. Das angewandte Verfahren ist zwar von theoretischem Interesse, aber nicht praktisch verwendbar.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, S. 70. Heute wird es als Neusis-Konstruktion bezeichnet. Später schuf Archimedes eine spezielle Kurve, nannte sie Spirale (archimedische Spirale) und untersuchte damit die Winkelteilung und die Quadratur des Kreises.

Im 2. Jh. v. Chr. ersann Nikomedes ein Instrument, das die Forderung der von Pappos überlieferten Neusis-Konstruktion mechanisch zu erfüllen gestattet. Die damit konstruierbaren Kurven erhielten wegen ihrer Gestalt den Namen Konchoide, auf Deutsch Muschelkurven. Das Instrument besteht aus zwei T-förmig fest miteinander verbundenen Linealen, auf denen sich ein drittes in bestimmter Weise bewegen kann.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, S. 46. Es diente ihm damit als zusätzliches Hilfsmittel für die Dreiteilung des Winkels.

Pappos von Alexandria (im 4. Jh. n. Chr.) gehörte dem Kreis der alexandrinischen Neuplatoniker an. Seine Collectiones sind ein Sammelwerk in acht Büchern; bis auf das erste und den Anfang des zweiten sind sie allesamt erhalten geblieben. In der frühen Neuzeit entnahmen die europäischen Mathematiker den Collectiones viele Anregungen, enthalten sie doch wichtige Auszüge aus den Schriften von Euklid, Apollonios, Archimedes und anderen Mathematikern. Pappos erweiterte diese Auszüge um kritische Kommentare und teils eigene Ergänzungen.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, S. 77. Er zeigte u. a. zwei unterschiedliche Varianten für die Lösung der Winkeldreiteilung mit Hilfsmitteln – eine pragmatische mit einem markierten Lineal als zusätzlichem Hilfsmittel, sprich eine Neusis-Konstruktion (siehe hierzu den Abschnitt Die Methode des Pappos) und eine zweite, in der er die Hyperbel als Trisektrix nutzte.

Früh- bis Spätmittelalter Ahmad ibn Mûsâ lebte Mitte des 9. Jahrhunderts in Bagdad und war einer der drei Brüder, die sich Banū Mūsā nannten. Er war Astronom und Mathematiker. Seine Lösung zeigt zwei vorbestimmte Asymptoten einer Hyperbel, die durch einen gegebenen Punkt verläuft. Für die Drittelung des Winkels bedarf es eines markierten Lineals und somit einer Neusis-Konstruktion. Seine Lösung war der von Pappos’ Papierstreifenkonstruktion sehr ähnlich (siehe hierzu den Abschnitt Die Methode des Pappos).

Thabit ibn Qurra (826–901) aus Bagdad war anfangs Geldwechsler, fand Interesse an der Wissenschaft, wurde in Mathematik geschult und befasste sich auch mit Philosophie und Astronomie. Für seine Neusis-Konstruktion nutze er ebenfalls die Hyperbel. Seine Konstruktion war aber, im Gegensatz zu der von Ahmad ibn Mûsâ, exakter bezeichnet und ausführlicher begründet. Auch seine Lösung hatte große Ähnlichkeit mit Pappos’ Papierstreifenkonstruktion.

Ihren Höhepunkt erreichte die muslimische Astronomie und Trigonometrie im 15. Jahrhundert an der Sternwarte des Ulug Beg in Samarkand. Dort war al-Kaschi tätig, der sich eines geschickten Iterationsverfahrens bediente, um mit großer Genauigkeit aus der Winkeldreiteilungsgleichung den Sinus von zu berechnen. Im Prinzip ging er folgendermaßen vor. Da sich beliebig exakt bestimmen ließ (man konnte ihn z. B. aus der Differenz von am Fünfeck und am Sechseck mit Zirkel und Lineal konstruieren), verwendete er die Winkeldreiteilungsgleichung . In dieser trigonometrischen Schreibweise findet sie sich erstmals am Ende des 16. Jahrhunderts bei Vieta. Sie ist vom Typus (in der damaligen Klassifikation wurden die Koeffizienten – hier , – als positiv vorausgesetzt). Al-Kaschi berechnete die erste Näherung aus zu . Die zweite Näherung folgt dann analog aus usw., wobei sich als Besonderheit ergibt, dass sich mit jedem Schritt eine weitere Sexagesimalstelle exakt ermitteln lässt. Das Ergebnis al-Kaschis, in Dezimalschreibweise umgerechnet, liefert 18 Stellen:Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, S. 179.

Eine große Anzahl arabischer Handschriften befindet sich noch ungesichtet in orientalischen Bibliotheken, so dass die Forschung bisher kein vollständiges Bild der Entwicklung und des erreichten Wissens erarbeiten konnte.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, S. 180.

Renaissance bis Neuzeit Albrecht Dürer steuerte als Mathematiker ebenfalls zur Theorie der Winkeldreiteilung bei. Neben guten Näherungskonstruktionen für das reguläre 7-, 9-, 11- und 13-Eck finden sich im 2. Buch seiner Underweysung auch die näherungsweise Winkeldreiteilung. Sie wurde 1931 mit mehreren anderen Näherungslösungen der gleichen Aufgabe verglichen und dabei wurde gezeigt, dass sie nirgends um mehr als etwa 20 Bogensekunden vom genauen Wert abweicht und damit alle anderen späteren Lösungsvorschläge übertrifft.F. Vogel: Über die Näherungskonstruktionen für die Dreiteilung eines Winkels. Zeitschr. f. Math. u. Naturwiss. Unterricht 62. Jhg., 1931, S. 145–155. Dürers Konstruktionsidee lässt sich zudem leicht iterieren und liefert nach einigen Schritten eine sehr hohe Genauigkeit. Bei allem ist sich Dürer des grundlegenden Unterschiedes zwischen exakten, er nennt sie demonstrative, und Näherungslösungen, er nennt sie mechanice, jederzeit bewusst und hebt sich damit sogar von den meisten professionellen Mathematikern seiner Zeit ab.Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010, S. 283.