Dilatation (Geometrie)

mini|hochkant=0.8|Zur Definition einer Dilatation: Als Dilatation bezeichnet man in der Geometrie eine Kollineation einer affinen Ebene oder eines affinen Raumes, mit der Eigenschaft, dass jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abgebildet wird.Stefan E. Schmidt: Grundlegungen zu einer allgemeinen affinen Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-0348-9233-0, S. 20.Gerd Fischer: Analytische Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-322-96417-5, S. 31.

Dilatationen sind spezielle Affinitäten. Genauer gilt:Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-49328-X, S. 18 Eine von der Identität verschiedene Dilatation ist entweder eine zentrische Streckung (mit einem Fixpunkt) oder eine Parallelverschiebung (ohne Fixpunkt). mini|Affine Versionen des Satzes von Desargues. Oben: großer Satz, unten: kleiner Satz In der synthetischen Geometrie nennt man zentrische Streckungen auch Homothetien.Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-642-77646-9, S. 208 Sie haben dort einen direkten Bezug zur affinen Form des großen Satzes von Desargues (siehe Bild). Parallelverschiebungen nennt man auch Translationen. Sie haben Bezug zur affinen Form des kleinen Satzes von Desargues. Die Hintereinanderausführung zweier Translationen ist immer auch eine Translation. Die analoge Aussage gilt für Homothetien nicht. Zum Beispiel ist die Hintereinanderausführung zweier Punktspiegelungen eine Translation und keine Homothetie. Alle Dilatationen bilden eine Gruppe und alle Translationen eine Untergruppe davon. Bettet man die zugrunde liegende Ebene/Raum in eine projektive Ebene/Raum ein, so wird aus einer Dilatation eine Zentralkollineation mit der Fern-Gerade/-Hyperebene als Achse. Genauer: aus einer Translation bzw. Homothetie wird dann eine Elation bzw. Homologie, je nachdem, ob das Zentrum auf der Achse liegt oder nicht.P. Dembowski: Finite Geometries. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-642-62012-4, S. 30.

In einem euklidischen Raum lässt sich eine Streckung am Nullpunkt durch eine Translation durch beschreiben. Während Translationen Streckenlängen invariant lassen, verlängert oder verkürzt eine zentrische Streckung Strecken um denselben Faktor. In der oberen Figur des zweiten Bildes wird das blaue Dreieck durch eine zentrische Streckung an dem Punkt auf das grüne Dreieck abgebildet. In der unteren Figur geht das blaue Dreieck durch eine Translation in das (kongruente) grüne Dreieck über. Dilatationen gehören zu den Ähnlichkeitsabbildungen.

Man beachte: Achsenaffinitäten sind keine Dilatationen.

Definitionen

Die Definition der linearen Algebra ist für desarguesche affine Ebenen äquivalent zur Definition der synthetischen Geometrie, für nichtdesarguesche Ebenen ist nur die synthetische Definition sinnvoll und insofern eine Verallgemeinerung. Es gibt auch für höherdimensionale affine Geometrien rein geometrische Definitionen, die aber dann äquivalent zur Definition der linearen Algebra sind.

Lineare Algebra

Sei ein Körper oder Schiefkörper, ein Vektorraum bzw. Linksvektorraum über , dessen Dimension über mindestens 2 ist, ein affiner Raum über , dessen Verbindungsvektoren bilden. Dann heißt eine Affinität Dilatation, wenn ein Skalar existiert, so dass für zwei Punkte stets gilt. Der durch die Dilatation eindeutig bestimmte Skalar heißt Streckfaktor von . Für ist eine Translation.

Synthetische Geometrie Sei eine affine Ebene. Eine Kollineation, also eine geradentreue Bijektion heißt Dilatation, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: Jede Gerade der Ebene ist zu ihrer Bildgeraden parallel. Die Fortsetzung von im projektiven Abschluss von ist eine projektive Perspektivität, bei der die Ferngerade eine Fixpunktgerade ist.Koecher und Krieg §2

Dilatationsgruppen Zu einer mindestens zweidimensionalen affinen Geometrie heißt die Gruppe der Dilatationen auf Dilatationsgruppe von , die Gruppe der Dilatationen mit einem festen Fixpunkt (verallgemeinerte) Streckungsgruppe mit Zentrum , die Gruppe der Dilatationen ohne Fixpunkt zusammen mit der Identität Translationsgruppe .

Eigenschaften

Allgemein

Jede Dilatation ist eine Affinität. Eine Affinität oder Kollineation auf einer mindestens zweidimensionalen affinen Geometrie ist genau dann eine Dilatation, wenn jede Gerade parallel zu ihrer Bildgeraden ist. Hat eine Dilatation mehr als einen Fixpunkt, dann ist sie die identische Abbildung. Eine Dilatation ist durch die Angabe der Bildpunkte für zwei verschiedene Punkte des Raumes eindeutig bestimmt. Bei einer nichtidentischen Dilatation mit einem Fixpunkt sind genau die Geraden durch Fixgeraden. Bei einer nichtidentischen Translation sind genau die Parallelen zu der Verbindungsgeraden Fixgeraden, wobei ein beliebiger Punkt ist. In einer affinen Geometrie, die das affine Fano-Axiom erfüllt, ist jede Punktspiegelung eine Dilatation.

Struktur der Dilatationsgruppen Die Translationsgruppe ist ein Normalteiler der Dilatationsgruppe . Falls zu zwei Punkten eine Translation existiert, die auf abbildet , dann sind die verallgemeinerten Streckungsgruppen in der Dilatationsgruppe konjugierte Untergruppen – es gilt dann – und also isomorph zueinander.

Desarguessche Räume

In einem -dimensionalen affinen Raum () über einem Schiefkörper gilt:Degen (1976) Eine Dilatation ist genau dann eine Translation, wenn der ihr zugeordnete Streckungsfaktor ist, ansonsten hat sie einen Fixpunkt und es gilt . Die Translationsgruppe ist ein kommutativer Normalteiler der Dilatationsgruppe und als Gruppe isomorph zum -Linksvektorraum der Verbindungsvektoren . Die Streckungsgruppen zu beliebigen Zentren sind zueinander und zur multiplikativen Gruppe des Schiefkörpers isomorph . Dabei wird bei dem Isomorphismus zur multiplikativen Gruppe des Schiefkörpers jeder Streckung ihr Streckfaktor zugeordnet. Die Dilatationsgruppe ist das innere semidirekte Produkt der Translationsgruppe mit einer beliebigen Streckungsgruppe: . Insbesondere lässt sich jede Dilatation eindeutig als Verkettung einer Streckung um den fest gewählten Ursprung mit einer anschließenden Translation darstellen. Die Dilatationsgruppe ist isomorph zu einem äußeren semidirekten Produkt: . Die Operation von auf ist dabei durch die Linksmultiplikation mit den Streckfaktoren gegeben. Ist ein endlicher Körper mit Elementen, dann enthält die Dilatationsgruppe Elemente.

Affine Translationsebenen

In einer affinen Translationsebene, deren Koordinatenbereich der Linksquasikörper und deren Schiefkörper der spurtreuen Endomorphismen der Translationsgruppe ist, gilt: Zu jeder Dilatation existiert eine Konstante , so dass für beliebige Punkte stets gilt. Diese Konstante wird wie im desarguesschen Fall als Streckfaktor der Dilatation bezeichnet. Eine Dilatation ist genau dann eine Translation, wenn ihr Streckfaktor ist, ansonsten hat sie einen Fixpunkt und es gilt . Die Translationsgruppe ist ein kommutativer Normalteiler der Dilatationsgruppe und als Gruppe isomorph zum -Linksvektorraum der Verschiebungen . Die Streckungsgruppen zu beliebigen Zentren sind zueinander und zur multiplikativen Gruppe von isomorph . Dabei wird bei dem Isomorphismus zur multiplikativen Gruppe jeder Streckung ihr Streckfaktor zugeordnet. Die Dilatationsgruppe ist das innere semidirekte Produkt der Translationsgruppe mit einer beliebigen Streckungsgruppe: . Insbesondere lässt sich jede Dilatation eindeutig als Verkettung einer Streckung um den fest gewählten Ursprung mit einer anschließenden Translation darstellen. Die Dilatationsgruppe ist isomorph zu einem äußeren semidirekten Produkt: . Die Operation von auf ist dabei durch die Linksmultiplikation mit den Streckfaktoren gegeben. Ist der Quasikörper endlich und demnach ein -dimensionaler Vektorraum über seinem Kern, einem endlichen Körper mit Elementen, dann enthält die Dilatationsgruppe Elemente.

Längen, Winkel, Volumina

Ebenen

Ist in einer affinen Inzidenzebene eine Orthogonalitätsrelation zwischen den Geraden gegeben, dann bleibt die Orthogonalität bei einer Dilatation erhalten: Sind Geraden der Ebene, dann gilt . Dies bleibt auch dann richtig, wenn die Orthogonalität isotrope Geraden () zulässt. In einer präeuklidischen Ebene gilt: Das Bild eines rechtwinkligen Koordinatensystems ist wieder ein rechtwinkliges Koordinatensystem . Die Orthogonalitätskonstanten bezüglich und sind gleich. Ist eine präeuklidische Ebene mit Quadraten und ein kartesisches Koordinatensystem, dann ist auch kartesisch. Jede Dilatation ist kreistreu: Das Bild eines Kreises ist ein Kreis. Das Bild einer Längenklasse ist eine Längenklasse: Sind die Pfeile und gleich lang, dann gilt das auch für ihre Bildpfeile und unter einer Dilatation . Ist der Streckfaktor einer Dilatation 1 oder −1, dann bildet diese Dilatation sogar jede Längenklasse auf sich selbst ab. Mit anderen Worten: Genau die Translationen und die Punktspiegelungen sind längentreue Dilatationen. In einer euklidischen Ebene oder allgemeiner in einer angeordneten, frei beweglichen Ebene mit einem Längenmaß für Strecken und einem (orientierten) Winkelmaß gilt: Das (orientierte) Winkelmaß ist invariant unter jeder Dilatation. Für das Verhältnis der Länge einer Strecke zur Länge der Bildstrecke gilt: , dabei sind verschiedene Punkte der Ebene, der Streckfaktor der Dilatation . Insbesondere sind genau die Translationen und Punktspiegelungen längentreue Dilatationen, und bei jeder Dilatation bleiben die Verhältnisse von zwei beliebigen Streckenlängen erhalten. Ist die Ebene orientiert, so ist jede Dilatation orientierungserhaltend. Beachte, dass für Ebenen über nicht archimedisch geordneten Körpern die Streckfaktoren auch „unendliche“ Zahlen sein können.

Räume mit Skalarprodukt

In einem mindestens zweidimensionalen affinen Raum über einem Teilkörper der reellen Zahlen , in dessen -Vektorraum der Verbindungsvektoren ein Skalarprodukt erklärt ist, gilt: Das Skalarprodukt von Verbindungsvektoren ändert sich für eine Dilatation immer um den gleichen Faktor, es gilt genauer: mit dem Streckfaktor von . Ist ein starrerEin Körper heißt hier starr, wenn er außer der Identität keine Körperautomorphismen zulässt. Starre Teilkörper von sind z. B. selbst, und die archimedisch geordneten euklidischen Körper. Teilkörper der reellen Zahlen, dann gilt sogar eine Art Umkehrung: Ist eine Abbildung, die die Eigenschaft für beliebige Punkte und jedes Skalarprodukt auf mit derselben Konstanten erfüllt, dann ist eine Dilatation von mit dem Streckfaktor oder . Das mit Hilfe des Skalarprodukts definierte (nicht orientierte) Winkelmaß ist invariant unter jeder Dilatation. Die mit Hilfe des Skalarproduktes definierte (Quadrat-)Norm jedes Verbindungsvektors vervielfacht sich um den Betrag des Streckfaktors einer Dilatation: . Insbesondere sind genau die Translationen und Punktspiegelungen längentreue Dilatationen und bei jeder Dilatation bleiben die Verhältnisse von zwei beliebigen Streckenlängen erhalten. mini|Zur Winkelorientierung: bilden ein Dreieck, ist das Zentrum der Drehung um das Winkelmaß , bei der der Strahl durch das zu messende Winkelfeld auf gedreht wird. Ist auf dem Raum ein mit der Norm verträgliches,„Mit der Norm verträglich“ heißt ein (orientiertes) Volumenmaß, wenn das (orientierte) Volumen des Einheitsquaders 1 beträgt. translationsinvariantes, -additives Volumenmaß gegeben, dann gilt für messbare Teilmengen . Das Bild eines rechtwinkligen Koordinatensystems unter einer Dilatation ist wieder ein rechtwinkliges Koordinatensystem. In einem orientierten affinen Raum der Dimension über einem angeordneten Teilkörper der reellen Zahlen gilt: Eine Dilatation ist genau dann orientierungstreu, wenn ihr Streckfaktor positiv oder die Dimension des Raumes eine gerade Zahl ist, sonst kehrt sie die Orientierung um.