Die Spektraldichte eines stationären stochastischen Prozesses erlaubt tiefe Einblicke in die Struktur des Prozesses, insbesondere wenn es sich um Erkenntnisse über Periodizitäten handelt. Es ist also wichtig, dass aus gegebenen Daten, z. B. einer konkreten Zeitreihe, die Spektraldichte gut geschätzt werden kann.
Grundlage der meisten Schätzer ist das Periodogramm, das auf Arthur Schuster 1898 zurückgeht.A. Schuster: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena. In: Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity. 3, 1898, S. 13–41, .
Definitionen Spektraldichte Sei ( die Menge der ganzen Zahlen) ein (evtl. komplexwertiger) stationärer stochastischer Prozess mit Erwartungswert Kovarianzfunktion .
Falls , gilt die Spektraldarstellung von :
.
Die Funktion heißt Spektraldichte. Ihr Funktionswert gibt die Intensität der Frequenz im Spektrum von an.
Periodogramm Seien Realisierungen eines stationären stochastischen Prozesses mit . Dann heißt der Ausdruck
Periodogramm der konkreten Zeitreihe .
Schätzungen der Spektraldichte Inkonsistente Schätzungen Man kann das Periodogramm umformen in .
erweist sich also als die (empirische) Fouriertransformierte der empirischen Kovarianzfunktion . Da die Fouriertransformierte von ist, kann man heuristisch erwarten, dass eine geeignete Schätzung für darstellt. Tatsächlich ist das Periodogramm eine asymptotisch erwartungstreue Schätzung der Spektraldichte, allerdings ist sie nicht konsistent,J. Anděl: Statistische Analyse von Zeitreihen. Akademie-Verlag, Berlin 1984. d. h. in unmodifizierter Form nur eingeschränkt geeignet zur Schätzung der Spektraldichte.
Konsistente Schätzungen Erwartungstreue und konsistente Schätzungen für erzeugt man durch geeignete gewichtete Mittel von aus einer geeigneten Umgebung von .U. Grenander, M. Rosenblatt: Statistical Analysis of Stationary Time Series. Wiley 1957. (Reprint: American Mathematical Society, 2008) full text Eine allgemeine Darstellung dafür ist
mit geeignetem Spektralfenster . In der Regel wird obiges diskret erzeugt als Summe, und zwar für die sogenannten Fourierfrequenzen , wobei so gewählt ist, dass gilt. Dann hat man die Struktur . Wenn die und folgende Eigenschaften haben, erzwingt man Konsistenz:E. Parzen: Mathematical Considerations in the Estimation of Spectra. In: Technometrics. Vol. 3, 1961, S. 167–190, , . . Die Gewichte werden in der Regel durch symmetrische Kernfunktionen mit erzeugt gemäß:P. J. Brockwell and R. A. Davis: Time Series: Theory and Methods. Springer 1987 (jüngste Auflage 2009) .
Beispiele siehe z. B. Vereinfacht schreiben wir jetzt und anstatt und . Abgeschnittenes Periodogramm, erzeugt durch den Rechteckkern . Dabei ist die Indikatorfunktion. Es ist also für und sonst. Bartlett-Schätzung, erzeugt durch den Dreieck-Kern , es ist für und sonst. Parzenschätzung, erzeugt durch einen komplizierteren Kern, der eine günstige asymptotische Varianz liefert: .
Einzelnachweise