Der Fixpunktsatz von Weissinger ist ein Fixpunktsatz in der Analysis. Er verallgemeinert den Fixpunktsatz von Banach.
Der Satz wurde von Johannes Weissinger 1952 aufgestellt und bewiesen.
Aussage Sei ein Banachraum und abgeschlossen und nichtleer sowie eine Selbstabbildung, für die
gilt mit Zahlen , so dass . Dann besitzt genau einen Fixpunkt in , nämlich
mit einem beliebigen . Es gilt die Fehlerabschätzung
mit .
Bemerkungen Die Bedingung ist offenbar hinreichend, denn in diesem Fall kann man wählen. Der Beweis dieses Fixpunktsatzes stimmt im Wesentlichen mit dem klassischen Beweis des Fixpunktsatzes von Banach überein. Der Fixpunktsatz von Banach folgt mit der Ersetzung für ein konstantes als Lipschitz-Konstante der Abbildung . Der Fixpunktsatz von Weissinger dient als Basis für Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise in der Theorie der Differentialgleichungen. Insbesondere folgt aus ihm der Satz von Picard-Lindelöf.
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis Weissinger, Fixpunktsatz von