Die Idelegruppe und die Idelklassengruppe stellen in der Mathematik zentrale Objekte der Klassenkörpertheorie dar.
In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde in 1936 und 1941 von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley veröffentlichten Arbeiten unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt.
Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zur Verbindung von automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen von (Langlands-Programm). Genauer operiert die absolute Galoisgruppe auf der algebraischen De-Rham-Kohomologie von Shimura-Varietäten mit Werten in der Idelgruppe. Diese Darstellungen sind Hodge-Tate mit Gewichten (1,2).
Die Idelegruppe, speziell die Idelklassengruppe, findet Anwendung in der Klassenkörpertheorie, welche sich mit abelschen Körpererweiterungen von beschäftigt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der Klassenkörpertheorie gibt einen Homöomorphismus von der Idelegruppe in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung über einem algebraischen Zahlkörper. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz, welches eine Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes von Gauß ist, besagt, dass das Produkt in der multiplikativen Gruppe des Zahlkörpers verschwindet. Daher erhalten wir die globale Reziprozitätskarte der Idelklassengruppe von dem abelschen Teil der absoluten Galoisgruppe der Körpererweiterung.
Notation: Im Folgenden ist ein globaler Körper. Das bedeutet, dass entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass eine endliche Körpererweiterung ist. Im Folgenden bezeichnet eine Stelle von Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als oder notiert werden und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als notiert werden. Im Folgenden bezeichne die endliche Menge der unendlichen Stellen von Wir schreiben für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält. Sei die Vervollständigung von nach einer Stelle Bei einer diskreten Bewertung bezeichne mit den zugehörigen diskreten Bewertungsring von und mit das maximale Ideal von Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante Die Bewertung wird dem Betrag zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:
Umgekehrt wird dem Betrag die Bewertung zugeordnet, welche wie folgt definiert ist: für alle Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.
Definition der Idelegruppe eines globalen Körpers K
Topologie auf der Einheitengruppe eines topologischen Rings
Sei ein topologischer Ring. Dann bildet mit der Teilraumtopologie im Allgemeinen keine topologische Gruppe. Wir installieren deshalb auf die folgende, gröbere Topologie, was bedeutet, dass weniger Mengen offen sind: Betrachte die Inklusionsabbildung
Wir installieren auf die Topologie, die von der entsprechenden Teilraumtopologie auf erzeugt wird. Das heißt, wir installieren auf die Teilraumtopologie der Produkttopologie. Eine Menge ist per Definition genau dann offen in der neuen Topologie, wenn in der Teilraumtopologie offen ist. Mit dieser Topologie wird eine topologische Gruppe und die Inklusionsabbildung wird stetig. Es ist die gröbste Topologie, welche aus der Topologie von entsteht und die zu einer topologischen Gruppe macht.
Beweis: Man nehme den topologischen Ring Dann ist die Inversionsabbildung nicht stetig. Dies kann an folgendem Beispiel eingesehen werden: Betrachte die Folge
Diese Folge konvergiert in der -Topologie gegen das Einsadel, denn für eine gegebene Umgebung der können wir annehmen, dass die folgende Form hat:
Weiterhin gilt, dass für alle und daher für alle Es folgt, dass für alle groß genug. Das Bild dieser Folge unter der Inversionsabbildung konvergiert nicht mehr in der Teilraumtopologie von (vgl. das Lemma über den Unterschied zwischen der restringierten und unrestringierten Produkttopologie). In dieser neuen Topologie konvergiert weder die Folge noch ihre Inverse. Dieses Beispiel zeigt insbesondere, dass die beiden Topologien verschieden sind. Wir installieren also auf den Einheiten die oben beschriebene Topologie. Mit dieser Topologie wird eine topologische Gruppe. Es bleibt die Stetigkeit der Inversionsabbildung zu zeigen. Sei eine beliebige, offen Menge in der oben definierten Topologie, d. h. ist offen. Zu zeigen ist, dass offen ist, d. h. zu zeigen ist, dass offen ist. Dies ist nach Voraussetzung der Fall.
Die Idelegruppe eines globalen Körpers K
Sei ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings ist die sogenannte Idelegruppe von , welche im Folgenden mit
bezeichnet wird. Definiere weiterhin
Wir installieren auf der Idelegruppe die Topologie, die wir im Abschnitt zuvor definiert haben. Dadurch wird die Idelegruppe eine topologische Gruppe.
Die Idelegruppe als restringiertes Produkt
Sei ein globaler Körper. Es gilt:
wobei die Gleichheit im Sinne topologischer Ringe zu verstehen ist. Das restringierte Produkt trägt die restringierte Produkttopologie, welche erzeugt wird von den restringierten offenen Rechtecken. Diese haben die folgende Gestalt:
wobei eine endliche Teilmenge aller Stellen ist und beliebige, offene Mengen sind.
Beweis: Wir führen den Beweis für Die anderen beiden Aussagen folgen analog. Zuerst überlegen wir uns die Mengengleichheit. Betrachte dazu folgende Gleichungskette:
Beim Übergang von Zeile 2 zu 3 ist zu beachten, dass sowohl als auch in sein sollen, also für fast alle und für fast alle also insgesamt für fast alle Als Nächstes überlegen wir uns, dass die beiden Topologien übereinstimmen. Offensichtlich ist jedes restringierte offene Rechteck auch offen in der Topologie der Idelegruppe. Andererseits sei offen in der Topologie der Idelegruppe, d. h. ist offen. Es folgt, dass für jedes ein restringiertes offenes Rechteck existiert, welches enthält und in liegt. Also ist als Vereinigung restringierter offener Rechtecke darstellbar, also offen in der restringierten Produkttopologie.
Weitere Definitionen
Unter Verwendung der bisherigen Notation, definiere
und als die entsprechende Einheitengruppe. Es gilt dann
Die Idelegruppe I(L) bei einer Körpererweiterung L/K
Alternative Beschreibung der Idelegruppe im Fall L/K
Sei ein globaler Körper und sei eine endliche Körpererweiterung. Dann ist wieder ein globaler Körper und die Idelegruppe ist definiert. Definiere
Beachte, dass beide Produkte endlich sind. Es gilt dann:
Einbettung der Idelegruppe von K in die Idelegruppe von L
Es gibt eine kanonische Einbettung der Idelegruppe von in die Idelegruppe von Dem Idel wird das Idel mit für zugeordnet. Deshalb kann als Untergruppe von aufgefasst werden. Ein Element liegt also genau dann in der Untergruppe wenn seine Komponenten erfüllen für und wenn weiterhin gilt, dass für und für die gleiche Stelle von
Die Idelegruppe einer K-Algebra A
Sei eine endlichdimensionale -Algebra, wobei ein globaler Körper ist. Betrachte die Einheitengruppe von Die Abbildung ist im Allgemeinen nicht stetig in der Teilraumtopologie. Somit bilden die Einheiten keine topologische Gruppe. Wir statten deswegen mit der Topologie aus, die wir in dem Abschnitt über die Einheiten auf topologischen Ringen definiert haben. Mit dieser Topologie versehen, nennen wir die Einheitengruppe von die Idelegruppe von Die Elemente der Gruppe werden die Idele von genannt.
Sei eine endliche Teilmenge von welche eine -Basis von enthält. Sei wieder der -Modul, der von in erzeugt wird. Wie bereits bei der Betrachtung des Adelerings, existiert eine endliche Teilmenge der Stellenmenge, welche enthält, so dass für alle gilt, dass ein kompakter Unterring von ist und die Einheiten enthält. Weiterhin gilt für jedes dass eine offene Teilmenge von ist und dass die Abbildung stetig auf ist. Es folgt, dass die Abbildung die Gruppe homöomorph auf ihr Bild unter dieser Abbildung in abbildet. Für sind diejenigen Elemente von welche unter der obigen Abbildung auf abgebildet werden. Somit ist eine offene und kompakte Untergruppe von Der Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 71ff.
Diese Betrachtungen lassen sich insbesondere auf die Endomorphismenalgebren von Vektorräumen anwenden. Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum, wobei ein globaler Körper ist. Sei Dies ist eine -Algebra. Es gilt: wobei eine lineare Abbildung genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante von verschieden ist. Wenn ein topologischer Körper ist, dann ist eine offene Teilmenge von denn Da abgeschlossen ist und stetig ist, ist offen. Mit kann man dann wie oben die Idele von betrachten.
Alternative Charakterisierung der Idelegruppe: Sei die Situation wie zuvor: Sei eine endliche Teilmenge der Stellenmenge welche enthält. Dann ist
eine offene Untergruppe von wobei als Vereinigung der geschrieben werden kann, und wobei alle endlichen Teilmengen der Stellenmenge durchläuft. Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 72.
Im Spezialfall erhält man Folgendes. Für jede endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält, ist die Gruppe
eine offene Untergruppe von Es gilt weiterhin, dass die Vereinigung aller dieser Untergruppen ist.
Spur und Norm
Die Spur kann nicht ohne weiteres auf die Idelegruppe übertragen werden, die Norm allerdings schon. Sei dazu Dann ist also haben wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus
Da und somit invertierbar ist, so ist auch invertierbar, da Es gilt also, dass Folglich liefert die Einschränkung der Normabbildung die folgende Abbildung:
Diese ist stetig und erfüllt ebenfalls die Eigenschaften der Norm aus dem Lemma über die Eigenschaften von Spur und Norm.
Eigenschaften
K* ist eine diskrete Untergruppe von I(K)
Die Einheiten des globalen Körpers können diagonal in die Idelegruppe eingebettet werden:
Da für alle gilt, folgt die Wohldefiniertheit und Injektivität dieser Abbildung wie beim entsprechenden Satz über den Adelering.
Weiterhin gilt, dass die Untergruppe diskret (und damit insbesondere abgeschlossen) in ist. Diese Tatsache folgt analog wie bei dem entsprechenden Satz über den Adelering.
Insbesondere ist eine diskrete Untergruppe von
Die Idelklassengruppe
In der algebraischen Zahlentheorie wird für einen gegebenen Zahlkörper die Idealklassengruppe betrachtet. Analog dazu definiert man den Begriff der Idelklassengruppe wie folgt.
In Analogie zum Begriff des Hauptideals werden die Elemente von in als Hauptidele von bezeichnet. Der Quotient, also die Faktorgruppe wird die Idelklassengruppe von genannt. Diese steht in Zusammenhang mit der Idealklassengruppe (vgl. den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe) und ist Hauptgegenstand bei den Betrachtungen in der Klassenkörpertheorie.
Da abgeschlossen in ist, folgt, dass eine lokalkompakte, hausdorffsche, topologische Gruppe ist.
Für eine endliche Körpererweiterung globaler Körper induziert die Einbettung eine injektive Abbildung auf den Idelklassengruppen:
Die Wohldefiniertheit der Abbildung folgt, da die Injektion offensichtlich auf eine Untergruppe von abbildet. Die Injektivität wird in Neukirch (2007), S. 388 gezeigt.