mini|hochkant|Bernhard Riemann, Stich von August Weger (1863) Georg Friedrich Bernhard Riemann (* 17. September 1826 in Breselenz bei Dannenberg (Elbe); † 20. Juli 1866 in Selasca bei Intra (heute zu Verbania) am Lago Maggiore) war ein deutscher Mathematiker, der trotz seines relativ kurzen Lebens auf vielen Gebieten der Analysis, Differentialgeometrie, mathematischen Physik und der analytischen Zahlentheorie bahnbrechend wirkte. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker. Seine Arbeit legte den Grundstein für die Allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein.
Leben Herkunft und Jugend mini|links|Johanneum in Lüneburg 1829
Bernhard Riemann wuchs in einem lutherischen Pfarrhaus als eines von fünf Kindern unter beengten Verhältnissen auf. Seine Mutter Charlotte, die Tochter des Hofrats Ebell in Hannover, starb früh (1846). Sein Vater Friedrich Bernhard Riemann, der aus Boizenburg stammte, hatte an den Befreiungskriegen teilgenommen (Armee von Wallmoden) und war zuletzt in Quickborn Pastor. Riemann hielt stets enge Verbindung zu seiner Familie.
Er besuchte von 1840 bis 1842 das Gymnasium in Hannover, danach bis 1846 das Gymnasium Johanneum in Lüneburg, von wo aus er den katastrophalen Brand Hamburgs in der Ferne beobachten konnte. Schon früh fielen seine mathematischen Fähigkeiten auf. Ein Lehrer, der Rektor Schmalfuss, lieh ihm Legendres Zahlentheorie (Théorie des Nombres), ein schwieriges Werk von 859 Quartformat-Seiten, bekam sie aber schon eine Woche später zurück und fand, als er Riemann im Abitur über dieses Werk weit über das Übliche hinaus prüfte, dass Riemann sich dieses Buch vollständig zu eigen gemacht hatte.
Studium mini|hochkant|Bernhard Riemann als Student
Riemann sollte zunächst wie sein Vater Theologe werden und hatte dazu schon in Lüneburg neben Latein und Griechisch auch Hebräisch gelernt; dann aber wechselte er in Göttingen zur Mathematik. Von 1846 bis 1847 studierte er in Göttingen u. a. bei Moritz Stern, Johann Benedict Listing – einem Pionier der Topologie (1847 schrieb er ein Buch darüber) – und Carl Friedrich Gauß, der aber damals fast ausschließlich über Astronomie und nur noch selten über angewandte Themen wie seine Methode der kleinsten Quadrate las.
1847–1849 hörte Riemann in Berlin Vorlesungen von Peter Gustav Dirichlet über partielle Differentialgleichungen, bei Jacobi und Gotthold Eisenstein – mit dem er nähere Bekanntschaft schloss – über elliptische Funktionen, bei Steiner Geometrie. Nach Richard Dedekind beeindruckten ihn in dieser Zeit auch die Ereignisse der Revolution vom März 1848 – so hielt er als Teil des Studentenkorps einen Tag Wache vor dem königlichen Schloss.
1849 war er wieder in Göttingen und begann die Arbeit an seiner Dissertation bei Gauß zur Funktionentheorie, die er 1851 abschloss. Am 14. November 1851 reichte er die Arbeit mit dem Titel Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe bei der Philosophischen Fakultät ein. Das Gutachten dazu von Gauß fiel überaus positiv aus:
Die mündliche Doktorprüfung fand am 3. Dezember 1851 statt und die öffentliche Disputation am 16. Dezember 1851. Danach wurde er vorübergehend Assistent des Physikers Wilhelm Eduard Weber. 1854 habilitierte er sich. Das Thema seines Habilitationsvortrages am 10. Juni 1854 lautete Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 1855 starb sein Vater.
Professor in Göttingen, Reisen und Tod mini|hochkant|Elise Riemann geb. Koch
Ab 1857 hatte Riemann in GöttingenGöttinger Gedenktafel: Barfüßerstraße 18, stadtarchiv.goettingen.de. eine außerordentliche Professur. Im selben Jahr zogen seine zwei verbliebenen Schwestern zu ihm, für die er nach dem Tod seines Bruders trotz seines schmalen Gehalts sorgen musste – zur damaligen Zeit bestand das Gehalt eines Professors zum großen Teil aus Hörergeldern, und je anspruchsvoller die Vorlesung war, desto weniger Hörer stellten sich in aller Regel ein. Riemann erlitt aus Überarbeitung einen Zusammenbruch und begab sich zur Erholung nach Bad Harzburg zu Dedekind. 1858 besuchten ihn die italienischen Mathematiker Francesco Brioschi, Enrico Betti und Felice Casorati in Göttingen, mit denen er sich anfreundete und denen er topologische Ideen vermittelte. Im selben Jahr besuchte er erneut Berlin und traf dort Ernst Eduard Kummer, Karl Weierstraß und Leopold Kronecker. 1859 trat er die Nachfolge Dirichlets auf dem Lehrstuhl von Carl Friedrich Gauß in Göttingen an. Dies kennzeichnete eine kurze Periode der Zufriedenheit in Riemanns Leben. Sein Professorengehalt erlöste ihn von der Armut in den Jahren als Student und so konnte er sich schließlich eine angemessene Unterkunft und sogar eine Haushaltshilfe leisten. 1860 reiste er nach Paris und traf Victor Puiseux, Joseph Bertrand, Charles Hermite, Charles Briot und Jean-Claude Bouquet.
1862 heiratete er Elise Koch, eine Freundin seiner Schwestern, mit der er eine Tochter, Ida, hatte, die 1863 in Pisa geboren wurde. Er hielt sich dann länger in Italien auf und traf seine italienischen Mathematikerfreunde wieder. Auf der Rückkehr von einer Italienreise 1862 verschlechterte sich sein Gesundheitszustand. Riemann litt an Tuberkulose. Auch längere Aufenthalte im milden Klima Italiens konnten die Krankheit nicht heilen. Auf neuerlicher Suche nach Erholung auf seiner dritten Italienreise starb er am 20. Juli 1866 im Alter von 39 Jahren in Selasca am Lago Maggiore.Er lebte ab dem 28. Juni in der Villa Pisoni in Selasca Er wurde in Biganzolo begraben.Riemanns Grab in Biganzolo (abgerufen am 12. August 2010). Das Grab existiert nicht mehr, nur der Grabstein in der Friedhofsmauer blieb erhalten.
Im Jahr 1890 zogen seine Witwe und deren ältere Schwester Ida Koch (1825–1899) zu seiner Tochter Ida (1863–1929), die seit 1884 mit dem Mathematiker Carl Schilling verheiratet war, nach Bremen.Derbyshire Prime Obsession, Joseph Henry Press, S. 364. Grabstein der Witwe und Schwester von Riemann, der Tochter, von Carl Schilling und ihrer fünf Kinder in Bremen-Riensberg.
Werk Trotz seines relativ kurzen Lebens wurde Riemann zu einem der herausragendsten Mathematiker, dessen Werk bis heute von großer Bedeutung für die Naturwissenschaften ist. Zum einen gehörte er zu den Begründern der Funktionentheorie, der Lehre von den Funktionen komplexer Variablen. Zum anderen gilt er als Begründer der Riemannschen Geometrie als einer der Wegbereiter von Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie.
Geometrie Veröffentlicht hat er seine Ideen zur „Riemannschen Geometrie“, d. h. Differentialgeometrie in beliebig vielen Dimensionen mit lokal definierter Metrik, nur in seinem Habilitationsvortrag vom 10. Juni 1854, den er noch in Gegenwart des tief beeindruckten Carl Friedrich Gauß hielt. Er hatte mehrere Themen vorgeschlagen und die „Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen“ nur als letztes aufgeführt.Sie wird erst weiter bekannt durch die Veröffentlichung in den Nachrichten der Göttinger Akad. Wiss. 1868 durch Dedekind. Gauß wählte (was eigentlich unüblich ist) gezielt dieses Thema. In dem Vortrag musste sich Riemann gezwungenermaßen für einen breiteren Kreis verständlich ausdrücken, und es kommen deshalb nur wenige Formeln darin vor. In einer Pariser Preisschrift (publiziert erst 1876 in den Gesammelten Werken) deutet Riemann die konkretere Ausführung seiner Vorstellungen an (u. a. Christoffel-Symbole, Krümmungstensor).
Funktionentheorie Seine geometrische Begründung der Funktionentheorie mit der Einführung riemannscher Flächen, auf denen mehrdeutige Funktionen wie der Logarithmus (unendlich viele Blätter) oder die Wurzelfunktion (zwei Blätter) „eindeutig“ werden, legte er bereits in seiner Dissertation vor, die nach Angabe von Dedekind schon im Herbst 1847 in Berlin abgeschlossen war (in Diskussionen mit Eisenstein soll er seinen Differentialgleichungs-Zugang zur Funktionentheorie gegenüber der mehr formalen Einstellung Eisensteins vertreten haben). Komplexe Funktionen sind „harmonische Funktionen“ (das heißt, sie erfüllen die Laplacegleichung) auf diesen Flächen und werden durch die Lage ihrer Singularitäten und die Topologie dieser Flächen (Zahl der Schnitte u. a.) beschrieben. Das topologische „Geschlecht“ der Riemannflächen wird durch gegeben, wobei in den Verzweigungspunkten der Fläche Blätter aneinandergeheftet sind. Für hat die riemannsche Fläche Parameter (die „Moduln“).
Seine Beiträge zu diesem Gebiet sind zahlreich. Sein berühmter Riemannscher Abbildungssatz besagt, dass jedes einfach zusammenhängende Gebiet in der komplexen Zahlenebene entweder zu ganz oder dem Innern des Einheitskreises „biholomorph“ äquivalent ist (das heißt, es gibt eine analytische Abbildung, auch in umgekehrter Richtung). Die Verallgemeinerung des Satzes in Bezug auf riemannsche Flächen ist das berühmte Uniformisierungstheorem, um das sich im 19. Jahrhundert u. a. Henri Poincaré und Felix Klein bemühten. Auch hier sind strenge Beweise erst mit der Entwicklung ausreichender mathematischer Werkzeuge – in diesem Fall aus der Topologie – gegeben worden.
Für den Beweis der Existenz von Funktionen auf riemannschen Flächen verwendete er eine Minimalbedingung, die er das Dirichlet-Prinzip nannte. Karl Weierstraß wies sofort auf eine Lücke hin: Riemann hatte mit seiner „Arbeitshypothese“ (für ihn war die Existenz des Minimums anschaulich klar) nicht beachtet, dass der zugrundeliegende Funktionenraum nicht vollständig sein muss und deshalb die Existenz eines Minimums nicht gesichert war. Durch die Arbeiten von David Hilbert in der Variationsrechnung wurde das Dirichlet-Prinzip um die Jahrhundertwende auf theoretisch sicheren Boden gestellt.
Weierstraß war im Übrigen von Riemann sehr beeindruckt, insbesondere von seiner Theorie Abelscher Funktionen. Als diese erschien, zog er sein eigenes Manuskript, das schon bei Crelle lag, wieder zurück und publizierte es nicht mehr. Beide verstanden sich gut, als Riemann ihn 1859 in Berlin besuchte. Weierstraß regte seinen Schüler Hermann Amandus Schwarz an, nach Alternativen zum Dirichletprinzip in der Begründung der Funktionentheorie zu suchen, worin dieser auch erfolgreich war. Für die Schwierigkeiten, die zeitgenössische Mathematiker mit Riemanns neuen Ideen hatten, ist eine Anekdote bezeichnend, die Arnold Sommerfeld überlieferte:Sommerfeld „Vorlesungen über theoretische Physik“, Band 2 (Mechanik deformierbarer Medien), Harri Deutsch, S. 124. Sommerfeld hatte die Geschichte vom Aachener Professor der Experimentalphysik Adolf Wüllner. Weierstraß hatte sich Riemanns Dissertation in den 1870er Jahren zum Studium in den Urlaub auf dem Rigi mitgenommen und klagte, sie sei schwer verständlich. Der Physiker Hermann von Helmholtz borgte sich die Arbeit über Nacht aus und gab sie mit dem Kommentar zurück, sie sei für ihn „naturgemäß“ und „wie selbstverständlich“. mini|hochkant|Riemann
Weitere Höhepunkte sind seine Arbeiten über abelsche Funktionen und Thetafunktionen auf Riemannschen Flächen. Riemann war seit 1857 in einem Wettkampf mit Weierstraß um die Lösung des jacobischen Umkehrproblems der abelschen Integrale, einer Verallgemeinerung der elliptischen Integrale. Riemann benutzte Thetafunktionen in mehreren Variablen und reduzierte das Problem auf die Bestimmung der Nullstellen dieser Thetafunktionen. Riemann untersuchte auch die Periodenmatrix (der g abelschen Integrale 1. Gattung auf g Wegen, die sich aus „kanonischer Zerschneidung“ der Fläche mit 2g Wegen ergeben) und charakterisierte sie durch die „riemannschen Periodenrelationen“ (symmetrisch, Realteil negativ). Die Gültigkeit dieser Relationen ist nach Ferdinand Georg Frobenius und Solomon Lefschetz äquivalent mit der Einbettung von , ( = Gitter aus der Periodenmatrix) in einen projektiven Raum mittels Thetafunktionen. Für n=g ist das die auch von Riemann untersuchte Jacobi-Varietät der Riemannfläche, ein Beispiel einer abelschen Varietät (Gitter).