Die Lagrange-Identität, benannt nach Joseph Louis Lagrange (1736–1813), wird bei der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, insbesondere bei Sturm-Liouville-Problemen, verwendet.
Definition Die Lagrange-Identität für die Funktionen , aus der Differentiationsklasse und den Koeffizientenfunktionen , und ist gegeben durch den Sturm-Liouville-Operator
für den gilt:
wobei die Wronski-Determinante der Funktionen bedeutet.
Herleitung Sei ein Sturm-Liouville-Differentialoperator, dann ist:
und
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:
Nun lassen sich unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen, der Term bleibt hierbei unberücksichtigt, folgende Darstellungen berechnen und . Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:
Literatur
Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2
Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
Kategorie:Differentialoperator Kategorie:Joseph-Louis Lagrange als Namensgeber