In der Algebra bezeichnet ein (algebraischer) Funktionenkörper ein Körper , wenn die Körpererweiterung endlich erzeugt und von endlichem Transzendenzgrad ist. Äquivalent ist eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Funktionen in algebraisch unabhängigen Variablen über . Die Elemente bilden dabei eine Transzendenzbasis von .
Funktionenkörper lassen sich geometrisch als Körper rationaler Funktionen algebraischer Varietäten interpretieren, das bedeutet
wobei eine algebraische Varietät bezeichnet und der Körper rationaler Funktionen auf . Im Fall entsprechen sie den Körpern rationaler Funktionen algebraischer Kurven.
Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.
Algebraische Definition Es sei ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.
Der algebraische Abschluss von in heißt Konstantenkörper.
Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.
Geometrische Definition Ist ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper , so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von . Er ist ein Funktionenkörper über im algebraischen Sinne.
Beispiel Sei eine Variable über einem Körper . Der rationale Funktionenkörper ist der Quotientenkörper des Polynomrings :
Die Elemente von sind also rationale Funktionen der Form Sei die algebraische Kurve über dem Körper . Die rationalen Funktionen auf bilden den Funktionenkörper . Er entsteht aus dem Polynomring
durch Bildung von Quotienten:
Seine Elemente sind rationale Funktionen wie zum Beispiel wobei für und die Beziehung gelten muss.
Literatur Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 2006, ISBN 9783540376637, S. 99 ff.
Kategorie:Körper (Algebra) Kategorie:Körpertheorie Kategorie:Algebraische Geometrie