In der Mathematik sind die Seiberg-Witten-Invarianten wichtige Invarianten differenzierbarer 4-Mannigfaltigkeiten. Zu ihren Anwendungen gehören der Beweis der Thom-Vermutung oder der Nichtexistenz von Metriken positiver Skalarkrümmung, Zerlegungen als zusammenhängender Summe oder symplektischer Strukturen auf verschiedenen 4-Mannigfaltigkeiten. Weiterhin können sie verschiedene Differentialstrukturen auf topologischen 4-Mannigfaltigkeiten unterscheiden.
Definition Sei eine kompakte differenzierbare 4-Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spinc-Struktur . Letztere besteht insbesondere aus komplexen Ebenenbündeln , genannt assoziierte Spinorbündel (deren Schnitte (anti)selbstduale Spinoren genannt werden), mit gleichem Determinantenbündel . Da das Determinantenbündel die erste Chern-Klasse erhält, haben alle Vektorbündel die gleiche erste Chern-Klasse mit .
Für eine generische selbst-duale 2-Form ist der Seiberg-Witten-Modulraum der Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension .
Die Eichgruppe und ihre Untergruppe wirken auf . Der Quotientenraum ist ein U(1)-Hauptfaserbündel über . Sei seine Eulerklasse.
Wenn ungerade ist, dann ist die Dimension von eine gerade Zahl . Man definiert dann mithilfe der Kronecker-Paarung:
Häufig wird auch eine von der Dimension des Seiberg-Witten-Modulraumes unabhängige Darstellung angegeben. Wenn die Kronecker-Paarung auf den gesamten Kohomologiering fortgesetzt wird, indem nur die Kohomologieklasse im gleichen Grad wie die Homologieklasse beachtet und alle anderen ignoriert werden, lässt sich einfach eine Summe sämtlicher Potenzen der Euler-Klasse betrachten. Mit der formalen Darstellung aus der geometrischen Reihe lässt dann selbst für ungerade Dimensionen des Seiberg-Witten-Modulraumes schreiben:
Für hängt die Invariante weder von der Riemannschen Metrik noch der Störung ab und wird als Seiberg-Witten-Invariante bezeichnet.Nicolaescu 2000, Theorem 2.3.5 Mit dem Raum aller Spinc-Strukturen wird die Seiberg-Witten-Invariante in diesem Fall zu einer Abbildung . Eine ähnliche Abbildung ist mit der Wahl einer Fundamentalklasse , nämlich einem Generator, die Diagonale der zur Klassifikation von 4-Mannigfaltigkeiten essentielle Schnittform .
Eigenschaften
Im Folgenden sei stets ungerade und . Eine Kohomologieklasse heißt Basisklasse, wenn es eine Spinc-Struktur mit und gibt.
Wenn ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus ist, dann ist:Gompf & Stipcisz 99, Theorem 2.4.3
Für jede Basisklasse gilt:
Für die duale Spinc-Struktur gilt:Gompf & Stipcisz 99, Remarks 2.4.4 d) für zusammenhängend () und einfach zusammenhängend ()
hat nur endlich viele Basisklassen. Wenn eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt, dann gilt für alle .Gompf & Stipcisz 99, Theorem 2.4.6Nicolaescu 2000, Corollary 2.3.8 Wenn für kompakte, orientierbare, glatte 4-Mannigfaltigkeiten mit , dann gilt für alle .Nicolaescu 2000, Theorem 4.6.1 Wenn gilt und für eine Spinc-Struktur mit die Ungleichung gilt, dann ist . Für eine eingebettete, kompakte, orientierbare Fläche des Geschlechts gilt für jede Basisklasse .Nicolaescu 2000, Remark 4.6.13 Wenn eine symplektische Mannigfaltigkeit mit kanonischer Spinc-Struktur ist, dann ist .Gompf & Stipcisz 99, Theorem 2.4.7
Siehe auch
Seiberg-Witten invariant auf nLab (englisch)
Literatur
John Morgan: Lectures on Seiberg-Witten invariants, Lecture Notes in Mathematics, 1629 (2nd ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41221-2
Weblinks Dietmar Salamon: Spin geometry and Seiberg-Witten invariants
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialtopologie