Das Maximumprinzip von Bauer, auch genannt als das H. Bauersche Maximum-Prinzip (), ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Teilgebieten der Analysis, der Linearen Optimierung und der Variationsrechnung angesiedelt ist. Es entstammt einer wissenschaftlichen Arbeit des deutschen Mathematikers Heinz Bauer (1928–2002) aus dem Jahre 1960 und ist verwandt sowohl mit dem weierstraßschen Satz vom Minimum und Maximum als auch mit dem Fundamentalsatz der Variationsrechnung. Wie diese behandelt das Maximumprinzip die grundlegende Frage der Existenz von Extremstellen gewisser reellwertiger Funktionale und formuliert Bedingungen, unter denen diese ihr Maximum annehmen.Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 30 ff.Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. 1992, S. 30 ff.Gustave Choquet: Lectures on Analysis / Volume II. 1969, S. 102 ff.Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 231 Darüber hinaus kann auch der Satz von Krein-Milman als Folgerung aus dem Bauer’schen Maximumprinzip verstanden werden.Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. 1982, S. 125
Formulierung des Satzes Das Maximumprinzip von Bauer lässt sich angeben wie folgt:Beauzamy, op. cit., S. 123 Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer topologischer -Vektorraum und darin eine nichtleere konvexe kompakte Teilmenge . Dann gilt: Jedes konvexe oberhalbstetige Funktional (und insbesondere jedes lineare stetige Funktional ) nimmt auf sein Maximum in einem der Extremalpunkte von an. Das bedeutet: Für jedes solche existiert ein (nicht notwendig eindeutig bestimmter) Extremalpunkt mit .
Bedeutung für die Lineare Optimierung Dazu bemerken Philippe Blanchard und Erwin Brüning in ihrem Springer-Lehrbuch Direkte Methoden der Variationsrechnung (1982): Die Aussage des Satzes ist für die Bestimmung des Maximums sehr wichtig, weil dadurch die Menge der potentiellen Extremalpunkte der Funktion ganz stark eingeschränkt wird. Speziell im Falle von konvexen Polyedern, wie er in konkreten Anwendungen oft vorliegt, braucht man also die Extrema der Funktion nur noch in der endlichen Menge der Extremalpunkte des Polyeders zu suchen.Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 30–31.
Literatur
Einzelnachweise
Bauer, Maximumprinzip von Kategorie:Analysis Kategorie:Lineare Optimierung Kategorie:Variationsrechnung