mini|650x650px|Abgrenzung des CVaR zum VaR Der Conditional Value at Risk (CVaR) stellt ein bedingtes Shortfall-Risikomaß dar und wurde aus dem Value at Risk (VaR) weiterentwickelt.W. Gleißner: Serie: Risikomaße und Bewertung – Teil 2: Downside-Risikomaße – Risikomaße, Safety-First-Ansätze und Portfoliooptimierung. Risikomanager. Ausgabe 13, 2006, S. 20. Ein anderer Begriff für den CVaR ist der Expected Shortfall (ES)P. Albrecht, https://www.versicherungsmagazin.de/lexikon/expected-shortfall-1945160.html#definition, abgerufen am 13. August 2022. Eine Variante dieses Risikomaßes ist die Tail Conditional Expectation (TCE).P. Albrecht, S. Koryciorz: Bestimmung des Conditional Value at Risk (CVaR) bei Normal- bzw. Lognormalverteilung. In: Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 142, 2003, S. 2. In einigen Fällen ist dieses Risikomaß auch identisch mit dem Average Value at Risk (z. B. bei allen stetigen Verlustverteilungen).S. Huschens: Risikomaße. In: Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren. Nr. 68/17, 2017, S. 95.
Grundlagen Der CVaR repräsentiert den Erwartungswert der Realisierungen einer risikobehafteten Größe, die unterhalb des Quantils zum Niveau (Konfidenzniveau: ) liegen.W. Gleißner: Serie: Risikomaße und Bewertung – Teil 2: Downside-Risikomaße – Risikomaße, Safety-First-Ansätze und Portfoliooptimierung. In: Risikomanager. Ausgabe 13, 2006, S. 20. Der CVaR entspricht somit dem durchschnittlichen Verlust bei einem Verlustereignis, das durch die Überschreitung des VaR ausgelöst wurde.P. Albrecht: Conditional Value at Risk (CVaR). 2018, abgerufen am 12. Juli 2018. Während der VaR den Maximalverlust darstellt, der mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von nicht überschritten wird, impliziert der CVaR den durchschnittlichen Verlust außerhalb des Sicherheitsniveaus (also in allen anderen schlimmen Fällen).J. Hanisch: Risikomessung mit dem Conditional Value-at-Risk: Entscheidungstheoretische Grundlagen und Implikationen für das Risikomanagement. Dissertation. 2004, S. 30. Legt man z. B. ein Konfidenzniveau von 95 % zu Grunde, ist der CVaR der durchschnittliche Maximalverlust der 5 % schlimmsten Fälle.F. Andersson, H. Mausser, D. Rosen, S. Uryasev: Credit risk optimization with Conditional Value-at-Risk criterion. In: Mathematical Programming. Vol. 89, Nr. 2, 2001, S. 274. Wenn man beispielsweise einen 1-%-VaR als 100-Jahres-Schaden interpretiert (d. h. durchschnittlich wird der 1-%-VaR nur einmal in 100 Jahren überschritten), dann kann der 1-%-CVaR als mittlere Höhe des 100-Jahres-Schadens angesehen werden.P. Albrecht: Conditional Value at Risk (CVaR). 2018, abgerufen am 12. Juli 2018.
Um den CVaR einer Finanzposition zu ermitteln, wird zuerst anhand eines festgelegten Zeitintervalls und einem vorgegebenen Konfidenzniveau der klassische VaR (= kritische Verlusthöhe) berechnet. In allen Fällen, bei denen der Periodenverlust größer als der VaR ist, stellt der CVaR die mittlere Verlusthöhe dar. Formal wird hierzu ein bedingter Erwartungswert gebildet. Für die Berechnung des CVaR summiert man den VaR und die mittlere Überschreitung des VaR (mittlere bedingte Überschreitung). Somit ist der CVaR immer höher als der klassische VaR.P. Albrecht: Conditional Value at Risk (CVaR). 2018, abgerufen am 12. Juli 2018. Portfolios mit geringem CVaR haben daher auch immer einen geringen VaR.R. T. Rockafellar, S. Uryasev: Optimization of Conditional Value at Risk. In: Journal of Risk. Vol. 2, Nr. 3, 2000, S. 21. Interpretiert wird dieses Risikomaß häufig auch als Quantils-Reserve plus eine Exzess-Reserve.W. Gleißner: Serie: Risikomaße und Bewertung. – Teil 2: Downside-Risikomaße – Risikomaße, Safety-First-Ansätze und Portfoliooptimierung. In: Risikomanager. Ausgabe 13, 2006, S. 20.
Ein VaR-geneigter Investor würde sich fragen: „Wie oft könnte mein Portfolio mindestens 100.000€ verlieren?“, wohingegen sich ein CVaR-geneigter Anleger fragt: „Wenn mein Portfolio mehr als 100.000€ verliert, wie viel könnte ich verlieren?“.J. Bhattacharya: Conditional Value at Risk Calculator. 2016, abgerufen am 12. Juli 2018. Der CVaR berücksichtigt somit neben der Wahrscheinlichkeit für große Abweichungen auch deren Höhe.W. Gleißner: Serie: Risikomaße und Bewertung. – Teil 2: Downside-Risikomaße – Risikomaße, Safety-First-Ansätze und Portfoliooptimierung. In: Risikomanager. Ausgabe 13, 2006, S. 20. Dies ist ein großer Vorteil gegenüber dem VaR, da dieser nur die Verlustwahrscheinlichkeit, jedoch nicht die Ausfallhöhe betrachtet.F. Wagner: Value at Risk (VaR). 2018, abgerufen am 14. Juli 2018. Der CVaR ist monoton, positiv homogen, subadditiv und translationsinvariant und somit auch kohärent.W. Gleißner: Serie: Risikomaße und Bewertung. – Teil 2: Downside-Risikomaße – Risikomaße, Safety-First-Ansätze und Portfoliooptimierung. In: Risikomanager. Ausgabe 13, 2006, S. 20. Beim VaR ist wiederum die Eigenschaft der Subadditivität nicht gewährleistet.F. Wagner: Value at Risk (VaR). 2018, abgerufen am 14. Juli 2018. Subadditivität bedeutet, dass durch das Zusammenlegen von Risikokollektiven das Gesamt-Risikokapital auf Basis des CVaR reduziert wird.P. Albrecht: Conditional Value at Risk (CVaR). 2018, abgerufen am 12. Juli 2018. Daher wird der CVaR als ein konsistenteres Maß gegenüber dem VaR angesehen.F. Andersson, H. Mausser, D. Rosen, S Uryasev: Credit risk optimization with Conditional Value-at-Risk criterion. Mathematical Programming. Vol. 89, Nr. 2, 2001, S. 274. Der CVaR ist allerdings nur ein kohärentes Risikomaß, wenn eine Verteilung mit Dichtefunktion („stetige Verteilung“) besitzt. Wenn jedoch eine diskrete Verteilung vorliegt, ist eine Modifikation erforderlich, um ein kohärentes Risikomaß zu erhalten.P. Albrecht, S. Koryciorz: Bestimmung des Conditional Value at Risk (CVaR) bei Normal- bzw. Lognormalverteilung. In: Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 142, 2003, S. 3.
Als der VaR aufgrund der Finanzkrise 2007–2008 immer unattraktiver wurde, rückte der CVaR immer mehr in den Mittelpunkt, da dieser auch sehr seltene und sehr große Verluste berücksichtigt.A. E. B. Lim, J. G. Shanthikumar, G.-Y. Vahn: Conditional value-at-risk in portfolio optimization: Coherent but fragile. In: Operations Research Letters. Vol. 39, Nr. 3 2011, S. 163. Sowohl im Risikomanagement als auch im Portfoliomanagement wird der CVaR zunehmend eingesetzt. Beispielsweise findet der CVaR in der Portfoliooptimierung Anwendung.Mathworks: Conditional Value-at-Risk. 2018, abgerufen am 12. Juli 2018. Abhängig von der Anlegeklasse und der Risikoart setzen Risikomanager verschiedene mathematische Methoden zur Berechnung des CVaR ein:
Monte-Carlo-Simulation Preisgestaltung und Bewertung von Finanzderivaten Ökonometrische Modelle (z. B. Marktzinsmethode)Mathworks: Conditional Value-at-Risk. 2018, abgerufen am 12. Juli 2018.
Der CVaR ist ein Maß für signifikante und unerwünschte Wertänderungen eines Portfolios.F. Andersson, H. Mausser, D. Rosen, S. Uryasev: Credit risk optimization with Conditional Value-at-Risk criterion. In: Mathematical Programming. Vol. 89, Nr. 2, 2001, S. 274. In der Praxis ist die Berechnung des CVaR jedoch nicht immer sinnvoll, da beispielsweise Schäden, die mehr als einmal zu einer Insolvenz führen, für die Eigentümer nicht schlimmer sind, als solche, die nur zu einer Insolvenz führen.W. Gleißner: Serie: Risikomaße und Bewertung. – Teil 2: Downside-Risikomaße – Risikomaße, Safety-First-Ansätze und Portfoliooptimierung. In: Risikomanager. Ausgabe 13, 2006, S. 20.
Die Bezeichnung Conditional Value at Risk könnte allerdings zu Missverständnissen führen, da es sich um einen Erwartungswert handelt und nicht um den VaR, der aus einer bedingten Verteilung hervorgeht. Auch die Abkürzung CVaR darf inhaltlich nicht mit dem Credit Value at Risk oder dem sogenannten Component Value at Risk verwechselt werden, für welche diese Abkürzung auch üblich ist.S. Huschens: Risikomaße. In: Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren. Nr. 68/17, 2017, S. 98.
Definition Sei eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion für . Dabei sind zufällige Verluste durch positive Werte der Zufallsvariablen abgebildet. bezeichnet die (linke verallgemeinerte) Inverse der VerteilungsfunktionFalls die Verteilungsfunktion invertierbar ist, dann ist die gewöhnliche Umkehrfunktion von , andernfalls ist die (linke verallgemeinerte) Inverse der Verteilungsfunktion. und das Sicherheitsniveau (Konfidenzniveau) mit . Dann wird der VaR wie folgt definiert:P. Albrecht: Zur Messung von Finanzrisiken. In: Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 143, 2003, S. 27.
Mit Hilfe des VaR kann der CVaR als bedingter Erwartungswert definiert werden:P. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber, D. Heath: Coherent measures of risk. In: Mathematical Finance. Vol. 9, Nr. 3, 1999, S. 223.
Eigenschaften Unter der Bedingung, dass eine stetige Zufallsvariable ist, gilt:P. Albrecht, R. Maurer: Investment- und Risikomanagement: Modelle, Methoden, Anwendungen. Schäffer-Poeschel, Stuttgart 2002, S. 675.
Ist normalverteilt mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung , dann giltW. Gleißner: Grundlagen des Risikomanagements. 3. Auflage. Vahlen, Stuttgart 2017, S. 207.
undW. Gleißner: Grundlagen des Risikomanagements. 3. Auflage. Vahlen, Stuttgart 2017, S. 209.
wobei die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion der einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen bezeichnet.
Abgrenzung des CVaR zu weiteren Risikomaßen CVaR und Value at Risk Gemäß der in der formalen Definition aufgeführten Formel, ist der VaR der maximale Schaden in der Fälle (beispielsweise in 99 % der Fälle). Im Vergleich mit dem bereits definierten CVaR ist erkennbar, dass der CVaR prinzipiell zu einem höheren Risiko führt. Wie bereits im Rechenbeispiel erwähnt und aufgezeigt, wird additiv zur Verlustwahrscheinlichkeit des VaR zusätzlich die mittlere Höhe des Verlustes bei dessen Eintritt berücksichtigt.P. Albrecht: Zur Messung von Finanzrisiken. In: Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 143, 2003, S. 32.
Es ist zu beachten, dass der VaR als auch der CVaR kein generelles kohärentes Risikomaß darstellen.P. Artzner, F. Delbaen, J.-M. Eber, D. Heath: Coherent measures of risk. In: Mathematical Finance. Vol. 9, Nr. 3, 1999, S. 216.P. Albrecht: Zur Messung von Finanzrisiken. In: Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 143, 2003, S. 32. Dies ist in der nicht allgemein vorhandenen Subadditivität zu begründen. Das bedeutet, dass eine Diversifikation nicht unbedingt eine Risikoreduzierung hervorruft.H. Rau-Bredow: 2020. Das Risiko eines Portfolios ist demnach nicht in jedem Fall kleiner als die Einzelrisiken der Alternativen.Z. M. Landsman, E. A. Valdez: Tail Conditional Expectation for Elliptical Distributions. In: North American Actuarial Journal. Vol. 7, Nr. 4, 2003, S. 56.
Dennoch ist bei beiden Risikomaßen eine Kohärenz in einzelnen Fällen gegeben. Beim VaR ist dies bei Anwendung auf die Normalverteilung, unter der Bedingung, dass kleiner ist als 0,5, der Fall. Die Subadditivität wird somit bedient. Beim CVaR muss die Verteilungsfunktion eine Dichte besitzen.P. Albrecht: Zur Messung von Finanzrisiken. In: Mannheimer Manuskripte zu Risikotheorie, Portfolio Management und Versicherungswirtschaft. Nr. 143, 2003, S. 31–32.
Die Eigenschaft der Subadditivität ist unter allgemeineren Bedingungen gültig, was auf eine Vorteilhaftigkeit des CVaR gegenüber dem VaR schließen lässt.