In der Zahlentheorie ist eine Thabit-Zahl (oder auch 321-Zahl) eine natürliche Zahl der Form . Die Zahlen wurden nach dem im 9. Jahrhundert lebenden sabischen Mathematiker Thabit ibn Qurra benannt, der der erste war, der diese Zahlen untersucht und ihre Beziehung zu befreundeten Zahlen entdeckt hat.

Beispiele

Die ersten Thabit-Zahlen sind die folgenden: 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727, 6291455, 12582911, 25165823, 50331647, 100663295, 201326591, 402653183, 805306367, 1610612735, … ()

Die ersten primen Thabit-Zahlen nennt man Thabit-Primzahlen (oder auch 321-Primzahlen) und lauten: 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, 26388279066623, 108086391056891903, 55340232221128654847, 226673591177742970257407, 59421121885698253195157962751, 30423614405477505635920876929023, … ()

Es sind momentan (Stand: 4. Juni 2018) genau 62 Thabit-Primzahlen der Form bekannt. Folgende führen auf diese Primzahlen: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, …() Es wurde bisher nach Thabit-Primzahlen bis zu untersucht (Stand: November 2015).

Die momentan größte Thabit-Primzahl hat Stellen und wurde am 6. Juni 2015 im Zuge des Internet-Projekts PrimeGrid (Unterprojekt 321 search) entdeckt.

Eigenschaften Jede Thabit-Zahl der Form hat eine binäre Darstellung, welche Stellen lang ist, mit beginnt und mit lauter ern endet. Beispiel:

Thabit-Zahlen der 2. Art In der Zahlentheorie ist eine Thabit-Zahl der 2. Art (oder auch 321-Zahl der 2. Art) eine natürliche Zahl der Form . Auch diese Zahlen werden im Zuge des Internet-Projekts PrimeGrid (Unterprojekt 321 search) gesucht.

Beispiele Die ersten Thabit-Zahlen der 2. Art sind die folgenden: 4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, 3145729, 6291457, 12582913, 25165825, 50331649, 100663297, 201326593, 402653185, 805306369, 1610612737, 3221225473, … ()

Die ersten primen Thabit-Zahlen der 2. Art nennt man Thabit-Primzahlen der 2. Art (oder auch 321-Primzahlen der 2. Art) und lauten: 7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, 2353913150770005286438421033702874906038383291674012942337, … ()

Es sind momentan (Stand: 4. Juni 2018) genau 49 Thabit-Primzahlen der Form bekannt. Folgende führen auf diese Primzahlen: 1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, … () Die momentan größte Thabit-Primzahl der 2. Art ist und hat Stellen.

Anwendung zur Berechnung von befreundeten Zahlen Satz von Thabit Ibn Qurra: Seien und zwei Thabit-Primzahlen und eine weitere Primzahl. Dann kann man ein Paar befreundeter Zahlen wie folgt bestimmen: und sind befreundet.

Den Beweis dieses Satzes findet man im Artikel über Teilersummen.

Beispiele: Für sind und alles Primzahlen. Damit ergibt sich

Es ist also das Zahlenpaar ein befreundetes Zahlenpaar. Dieses Verfahren führt leider nur noch für und auf befreundete Zahlenpaare, im Speziellen auf die beiden Paare und .

Verallgemeinerungen Eine Thabit-Zahl mit Basis b ist eine Zahl der Form mit einer Basis und einer natürlichen Zahl . Man nennt sie auch Williams-Zahl der 3. Art zur Basis b.

Eine Thabit-Zahl der 2. Art mit Basis b ist eine Zahl der Form mit einer Basis und einer natürlichen Zahl . Man nennt sie auch Williams-Zahl der 4. Art zur Basis b.

Eine Williams-Zahl mit Basis b ist eine Zahl der Form mit einer Basis und einer natürlichen Zahl .

Eine Williams-Zahl der 2. Art mit Basis b ist eine Zahl der Form mit einer Basis und einer natürlichen Zahl .

Eine prime Thabit-Zahl mit Basis nennt man Thabit-Primzahl mit Basis b mit einer Basis .

Eine prime Thabit-Zahl der 2. Art mit Basis nennt man Thabit-Primzahl der 2. Art mit Basis b mit einer Basis .

Eine prime Williams-Zahl mit Basis nennt man Williams-Primzahl mit Basis b mit einer Basis .

Eine prime Williams-Zahl der 2. Art mit Basis nennt man Williams-Primzahl der 2. Art mit Basis b mit einer Basis .

Eigenschaften Jede Primzahl ist eine Thabit-Primzahl mit Basis . (weil man sie in der Form schreiben kann) Jede Primzahl mit ist eine Thabit-Primzahl der 2. Art mit Basis . (weil man sie in der Form schreiben kann) Jede Primzahl ist eine Williams-Primzahl mit Basis . (weil man sie in der Form schreiben kann) Jede Primzahl ist eine Williams-Primzahl der 2. Art mit Basis . (weil man sie in der Form schreiben kann) Für jede Thabit-Primzahl der 2. Art mit Basis mit gilt: . (Für wäre immer durch teilbar) Für jede Thabit-Primzahl der 2. Art mit Basis mit gilt: . (Für wäre immer durch teilbar) Für jede Williams-Primzahl mit Basis mit gilt: . (Für wäre immer durch teilbar) Für jede Williams-Primzahl der 2. Art mit Basis mit gilt: . (Für wäre immer durch teilbar)

Ungelöste Probleme Gibt es für jede Basis unendlich viele Thabit-Primzahlen mit Basis ? Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt. Gibt es für jede Basis mit unendlich viele Thabit-Primzahlen der 2. Art mit Basis ? Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt. Gibt es für jede Basis unendlich viele Williams-Primzahlen mit Basis ? Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt. Gibt es für jede Basis unendlich viele Williams-Primzahlen der 2. Art mit Basis ? Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt.

Tabellen Es folgt eine Auflistung von Thabit-Primzahlen, Thabit-Primzahlen der 2. Art, Williams-Primzahlen und Williams-Primzahlen der 2. Art.

Zuerst wird eine Liste der Thabit-Primzahlen mit Basis angeführt (mit Potenzen bis mindestens ): Form Potenzen , sodass Thabit-Primzahlen mit Basis , also der Form , prim sind OEIS-Folge 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, … () 0, 1, 3, 5, 7, 15, 45, 95, 235, 463, 733, 1437, 1583, 1677, 1803, 4163, 4765, 9219, 9959, 25477, 26059, 41539, 54195, 65057, 74977, 116589, 192289, 311835, 350767, 353635, 416337, 423253, … () 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, 670, 719, 761, 819, 877, 942, 1007, 1085, 1274, 1311, 1326, 1352, 6755, … 0, 1, 2, 5, 11, 28, 65, 72, 361, 479, 494, 599, 1062, 1094, 1193, 2827, 3271, 3388, 3990, 4418, 11178, 16294, 25176, 42500, 68320, 85698, 145259, 159119, 169771, … () 1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, 734, 2236, 2272, 3135, 3968, 6654, 7059, … 0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, 1550, 1835, 2515, 3532, 3818, 8260, … 1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, 313, 517, 1863, 2669, 3849, 4165, … 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, 454, 621, 2312, 3553, 6565, … 1, 9, 11, 17, 22, 29, 36, 37, 52, 166, 448, 2011, 3489, 4871, 6982, 10024, 16974, 33287, 47364, 58873, 126160, … () 0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, 908, 1346, 1524, 1776, 2173, 2788, 6146, … 2, 6, 11, 66, 196, 478, 2968, 3568, 5411, 7790, … Es folgt eine Liste der Thabit-Primzahlen der 2. Art mit Basis (mit Potenzen bis mindestens ): Form Potenzen , sodass Thabit-Primzahlen der 2. Art mit Basis , also der Form , prim sind OEIS-Folge 1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, … () 0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 885, 1005, 1254, 1635, 3306, 3522, 9602, 19785, 72698, … () es gibt keine Primzahlen dieser Form 0, 1, 2, 3, 23, 27, 33, 63, 158, 278, 290, 351, 471, 797, 8462, 28793, 266030, … () 1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, 309, 555, 1128, 1479, 1574, 2808, 3525, 5334, 9980, … es gibt keine Primzahlen dieser Form 1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, 435, 498, 942, 1118, 1139, 1230, 1614, 1934, … 0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, 941, 1647, 7466, 9477, 9806, … es gibt keine Primzahlen dieser Form 0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, 363, 995, 1218, 2072, 2559, … 1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, 365, 2540, … Es folgt eine Liste der Williams-Primzahlen mit Basis (mit Potenzen bis mindestens ): Form Potenzen , sodass Williams-Primzahlen mit Basis , also der Form , prim sind OEIS-Folge 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, … (Mersenne-Primzahl-Exponenten) () 1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844, … () 0, 1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859, … () 0, 1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393, … () 1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706, … () 0, 1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326, … () 3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299, … () 0, 1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305, 142199, … () 1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643, … () 1, 3, 37, 119, 255, 355, 371, 497, 1759, 34863, 50719, 147709, … () 1, 2, 21, 25, 33, 54, 78, 235, 1566, 2273, 2310, 4121, 7775, 42249, 105974, 138961, … () Es folgt eine Liste der Williams-Primzahlen der 2. Art mit Basis (mit Potenzen bis mindestens ): Form Potenzen , sodass Williams-Primzahlen der 2. Art mit Basis , also der Form , prim sind OEIS-Folge 0, 1, 2, 4, 8, 16, … (Fermat-Primzahl-Exponenten) 0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 30, 54, 57, 60, 65, 132, 180, 320, 696, 782, 822, 897, 1252, 1454, 4217, 5480, 6225, 7842, 12096, 13782, 17720, 43956, 64822, 82780, 105106, 152529, 165896, 191814, 529680, 1074726, 1086112, 1175232, … () 1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, 1104, 1408, 1584, 1956, … () 0, 2, 6, 18, 50, 290, 2582, 20462, 23870, 26342, 31938, 38122, 65034, 70130, 245538, … () 1, 2, 4, 17, 136, 147, 203, 590, 754, 964, 970, 1847, 2031, 2727, 2871, 5442, 7035, 7266, 11230, 23307, 27795, 34152, 42614, 127206, 133086, … () 0, 1, 4, 9, 99, 412, 2633, 5093, 5632, 28233, 36780, 47084, 53572, … () 2, 40, 58, 60, 130, 144, 752, 7462, 18162, 69028, 187272, 268178, 270410, 497284, 713304, 722600, 1005254, … () 1, 4, 5, 11, 26, 29, 38, 65, 166, 490, 641, 2300, 9440, 44741, 65296, 161930, … () 3, 4, 5, 9, 22, 27, 36, 57, 62, 78, 201, 537, 696, 790, 905, 1038, 66886, 70500, 91836, 100613, 127240, … () 0, 10, 24, 864, 2440, 9438, 68272, 148602, … () 3, 4, 35, 119, 476, 507, 6471, 13319, 31799, … ()