Als verallgemeinerter Logarithmus und verallgemeinerte Exponentialfunktion werden spezielle Funktionen bezeichnet, welche ähnliche Wachstumseigenschaften und Beziehungen zueinander haben wie Logarithmus und Exponentialfunktion und über bestimmte Funktionalgleichungen iterativ von einem Intervall auf der reellen Achse ausgehend definiert werden.
Eingeführt wurden sie 1986 durch Charles William Clenshaw, Daniel W. Lozier, Frank W. J. Olver und Peter R. Turner, wenn es auch Vorgänger in der Literatur gibt. Die Hauptanwendung ist in der Gleitkomma-Arithmetik.
Definition Eine verallgemeinerte Exponentialfunktion erfüllt folgende drei Bedingungen:Clenshaw u. a., Computers & Mathematics with Applications, Band 12, 1986, S. 1091
, für
ist streng monoton steigend für
Dabei ist wie üblich die gewöhnliche Exponentialfunktion (und ist im Folgenden der natürliche Logarithmus, die Eulersche Zahl).
ist streng monoton zunehmend von zu wenn von bis zunimmt und besitzt damit eine Inverse auf , den zugehörigen verallgemeinerten Logarithmus .
Für den verallgemeinerten Logarithmus gilt:
, für
ist streng monoton steigend für
Die Werte an den ganzzahligen Stellen sind gleich: , , usw. Wie bei der Gammafunktion kann die vollständige Funktion aus den Werten an den ganzzahligen Stellen konstruiert werden.
Die Lösung ist aber nicht eindeutig, sondern hängt von der Wahl des Wachstums im Interval ab. Die einfachste Wahl besteht darin, dass man vorgibt:
im Intervall .
Das entspricht auch der hauptsächlichen Anwendungen in der Gleitkommaarithmetik (siehe unten). Dann folgt:
, für , für
und allgemein nach -facher Iteration:
, für
Analog für den Logarithmus:
, für , für , für
und allgemein nach -facher Iteration (mit der -fachen Iteration des gewöhnlichen Logarithmus):
, für
und ein , dass durch bestimmt ist.
Die erste Ableitung von ist stetig bei , die zweite Ableitung hat einen Sprung von auf (entsprechend an den anderen ganzzahligen Stellen).
Anwendung Die Funktionen finden Anwendung in einer Darstellung reeller Zahlen für die Präzisionsarithmetik im Computer, die als Level-Index-Arithmetik (LI) bezeichnet wird und von Clenshaw und Olver 1984 eingeführt wurde.Clenshaw, Olver, Beyond floating point arithmetic, Journal of the Association for Computing Machinery, Band 31, 1984, S. 319–328 In der Gleitkommaarithmetik muss ein Kompromiss zwischen Präzision und der Möglichkeit der Darstellung sehr großer Zahlen gefunden werden. In der LI werden Zahlen durch Iteration der Exponentialfunktion dargestellt, wobei der Iterationsgrad als Stufe (Level) bezeichnet wird.
Der Exponent ist der Index. Beispiel: wird dargestellt als .
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Mathematische Funktion