Die Zustandsraumdarstellung ist eine von mehreren bekannten Formen der Systembeschreibung eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems. Das Zustandsraummodell gilt als ingenieurtechnisch geeignete Methode der Analyse und Synthese dynamischer Systeme im Zeitbereich und ist besonders effizient bei der regelungstechnischen Behandlung von Mehrgrößensystemen, nichtlinearen und zeitvariablen Übertragungssystemen. Dabei werden sämtliche Beziehungen der Eingangs-, Ausgangs- und Zustandsgrößen in Form von Matrizen und Vektoren dargestellt. Das Zustandsraummodell wird durch zwei Gleichungen beschrieben, die Zustandsdifferenzialgleichung erster Ordnung und die Ausgangsgleichung.
Geschichte Die seit den 1960er Jahren bekannte Theorie des Zustandsraumes stammt aus den USA von dem Mathematiker und Stanford-Universitätslehrer Rudolf E. Kálmán. Sie ist etwa zeitgleich mit dem Auftreten erster leistungsfähiger Digitalrechner entstanden, die für den Umgang mit der Zustandsraumdarstellung unverzichtbar sind.
Im Hochschulbereich der ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen der Automatisierung, Mechatronik, Elektrotechnik usw. nimmt insbesondere in der Regelungstechnik die Zustandsraumdarstellung zunehmend einen größeren Bereich ein. So gilt nach Darstellung einiger Hochschullehrer die Zustandsraumdarstellung bereits in der Vergangenheit als wesentlicher technologischer Impuls für die Luft- und Raumfahrt wie der im Apollo-Programm 1969 vollzogene Flug zum Mond.
Grundlagen Unter dem Begriff Zustandsraumdarstellung versteht man die Beschreibung eines dynamischen Übertragungssystems durch seine Zustandsgrößen (= Zustandsvariablen). Dabei wird die systembeschreibende Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit n konzentrierten Energiespeichern in n Differenzialgleichungen 1. Ordnung zerlegt und in eine Matrizen/Vektor-Darstellung gebracht.
Die Zustandsvariablen beschreiben physikalisch den Energiegehalt der in einem technischen dynamischen System enthaltenen Speicherelemente. Zustandsvariablen sind z. B. die Spannung an einem Kondensator, der Strom in einer Induktivität, bei einem Feder-Massesystem die Auslenkung der Feder, die Geschwindigkeit der Masse. Die Anzahl der Zustandsvariablen des Zustandsvektors entspricht der Dimension des Zustandsraumes. Im Zustandsvektor zum beliebigen Zeitpunkt t(0) sind alle Informationen des dynamischen Übertragungssystems enthalten.
Wesentliche Begriffe zum Verständnis der Beschreibung eines Übertragungssystems im Zustandsraum sind das Zustandsraummodell und die angewandte Normalform, nach der die Zustandsgleichungen und zugehörigen Matrizen / Vektoren ausgelegt sind. Das Zustandsraummodell kann für nicht sprungfähige Systeme direkt aus den Koeffizienten der systembeschreibenden Differenzialgleichung oder der zugehörigen Übertragungsfunktion erstellt werden.
Nach dem Signalflussplan der Regelungsnormalform kann mit Hilfe der zurückgeführten Zustandsvariablen ein dynamisch vorteilhafter Zustands-Regelkreis gebildet werden, der ohne Matrizendarstellung mittels numerischer Berechnung aller vorliegenden Signalgrößen simuliert werden kann.
Übersicht der Systembeschreibungen
In der klassischen Regelungstheorie vor den 1960er Jahren hatte die Analyse und Berechnung von Regeleinrichtungen im Zeitbereich nur eine geringere Bedeutung als die Methoden im Frequenz- und s-Bereich, wie die Laplace-Transformation, der Frequenzgang und das Wurzelortskurvenverfahren. Dabei wurden hauptsächlich lineare zeitinvariante Übertragungsglieder mit konstanten Koeffizienten behandelt. Nichtlineare Systeme wurden linearisiert.
Zum Verständnis der Theorie der Zustandsraumdarstellung sind folgende Kenntnisse der Systembeschreibungen erforderlich:
Gewöhnliche Differenzialgleichungen eines Übertragungssystems Die Beschreibung von linearen Systemen mit konzentrierten Energiespeichern (im Gegensatz zu Systemen mit verteilten Speichern → Partielle Differenzialgleichung) erfolgt mit gewöhnlichen Differenzialgleichungen. Die Differenzialgleichung beschreibt ein lineares Übertragungssystem mit n Energiespeichern durch n Ableitungen der Systemausgangsgröße y(t) und m Ableitungen der Eingangsgröße u(t) des Systems.
Beispiel der Beschreibung eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung (PT1-Glied):
mit als die System-Zeitkonstante und dem Verstärkungsfaktor .
Beschreibung linearer Systeme im komplexen Frequenzbereich
mini|200px|Blockdiagramm eines Übertragungssystems als Ein- und Mehrgrößensystem.
Die Übertragungsfunktion ist eine mathematische Beschreibung für das Verhalten eines linearen, zeitinvarianten Systems im Frequenzbereich (s-Bereich) mit der komplexen Variablen s. Sie ist in der Regelungstechnik die häufigste Darstellungsform für die Beschreibung des Eingangs- und Ausgangsverhaltens von Übertragungssystemen.
Sämtliche Systemeigenschaften wie die Kriterien der Stabilität, Pole, Nullstellen, Verstärkung und Zeitkonstanten können aus der Übertragungsfunktion abgeleitet werden. Durch die Rücktransformation mittels der Laplace-Transformation kann das zeitliche Verhalten eines Übertragungssystems als Funktion des Eingangssignals berechnet werden.
Eine wesentliche Erkenntnis in der linearen Systembeschreibung ist die Tatsache, dass Differenzialgleichungen wie auch Übertragungsfunktionen in Polynomdarstellung beliebiger Ordnung auf 3 einfache Grundformen von Polynomen zerlegt werden können, die ein völlig unterschiedliches signaltechnisches Verhalten haben, ob sie im Zähler oder Nenner der Übertragungsfunktion stehen.
Beispiel der Beschreibung eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung (PT1-Glied):
Numerische Beschreibung linearer und nichtlinearer Systeme Relativ einfache Übertragungssystem-Strukturen mit nichtlinearen Elementen, Begrenzungseffekten und Totzeitsystemen sind durch konventionelle Rechenmethoden im kontinuierlichen Zeitbereich nicht mehr geschlossen lösbar. Abhilfe bietet die numerische Berechnung im diskreten Zeitbereich Δt.
Anstelle der Berechnung des kontinuierlichen Verhaltens der physikalischen Größen eines dynamischen Systems als f(t) erfolgt die Umsetzung in eine quantisierte Berechnungsmethode mit konstanten kleinen Zeitintervallen, der diskreten Zeit Δt. Das dynamische System wird in seiner einfachsten Form durch 4 unterschiedliche Differenzialgleichungen erster Ordnung mit Differenzengleichungen beschrieben und algebraisch rekursiv berechnet. Wesentliches Merkmal der Rekursion ist die Folge k = (0, 1, 2, 3, …, kn), bei dem das Rechenergebnis der zurückliegenden Folge k-1 zu dem aktuellen diskreten Rechenergebnis der Folge k hinzu addiert wird.
Beispiel der Beschreibung eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung (PT1-Glied mit dem Verstärkungsfaktor KPT1) nach der Euler-Approximation:
Für die numerische Berechnung von Übertragungssystemen stehen verschiedene Rechenprogramme zur Verfügung.
Definition des Zustandes eines Übertragungssystems
Physikalisch betrachtet ist der Zustand eines dynamischen Systems durch den Energiegehalt der im System vorhandenen Energiespeicher bestimmt. Die Zustandsgrößen beschreiben den Energiegehalt der im System enthaltenen Speicherelemente. Sie können sich bei Anregung des Systems nicht sprunghaft ändern.
Der Wert der Zustandsgrößen zu einem bestimmten Zeitpunkt t ist der Zustand des Systems und wird durch den Vektor zusammengefasst.
Das Verhalten des Übertragungssystems ist zu einem beliebigen Zeitpunkt zu der Zeit t = 0 für t > 0 vollständig gegeben, wenn
das mathematische Modell des Übertragungssystems bekannt ist, die Anfangswerte der Energiespeicher bekannt sind und die Eingangsgrößen des Systems bekannt sind.
Daraus folgt:
Bei Kenntnis des Systemzustandes und aller auf das System einwirkenden Signalgrößen kann das zukünftige Systemverhalten für t > 0 vorausbestimmt werden.
Zustand eines dynamischen Systems im Zustandsraum = Zustandsvektor zum Zeitpunkt .Beschreibung dynamischer Systeme im Zustandsraum. In: Oliver Nelles: Vorlesungsmanuskript Mess- und Regelungstechnik II. Universität Siegen, 4. Mai 2010.
Der Zustandsvektor eines linearen Systems bestimmt mit dem Verlauf des Eingangssignals u(t) vollständig den Verlauf der Ausgangsgröße y(t) für . Die Anzahl der Zustandsvariablen von ist die Dimension des Zustandsraumes.
Begriffsdefinitionen: Zustandsraum, Vektorraum, Phasenraum, Phasenporträt
Im deutschen Sprachraum ist der Begriff der Zustandsraumdarstellung für den älteren und auch heute gültigen Begriff Systembeschreibung im Zustandsraum erst nach den 1970er Jahren entstanden.
In der Regelungstechnik wird der Begriff „Zustandsraum“ eines dynamischen Übertragungssystems meist wie folgt definiert:
Allgemein kann der Zustandsraum von dynamischen Systemen jedoch eine Mannigfaltigkeit sein, die nicht die Anforderungen an einen Vektorraum erfüllt. Diese besitzt nur in einer lokalen Umgebung um einen Punkt dieselben Eigenschaften wie ein Vektorraum.
Das Systemverhalten eines dynamischen Übertragungssystems im Zustandsraum am Beispiel eines Verzögerungssystems höherer Ordnung lässt sich grafisch darstellen durch:
Grafische Darstellung des PhasenporträtsZustandsraumdarstellung linearer Systeme. In: Jan Lunze: Regelungstechnik I.
mini|200px|Phasenporträt eines PT2-Schwingungsgliedes und eines PT2-Gliedes im Zustandsraum.
Bei der Zustandsraumdarstellung für zweidimensionale Systeme spannt der -Raum eine Fläche auf. Diese Beziehung wird mit Phasenraum und die sich ergebende Trajektorie wird mit Phasenporträt bezeichnet.
Das Phasenporträt für Systeme ohne Eingangssignal u(t) = 0 wird stets im Uhrzeigersinn zum Ursprung durchlaufen, vorausgesetzt, das System ist stabil.
Für 2- oder 3-dimensionale Zustandsvektoren sind zum Verständnis grafische Konstruktionen möglich.
Sind z. B. für ein PT2-Schwingungsglied mit der Dämpfung die Eingangsgröße und die Anfangswerte und gegeben, dann verläuft die Bahnkurve (Phasenporträt) als Funktion der Zeit in dem x1-x2-Diagramm entsprechend der Eigenbewegung des Systems von einem Anfangswert spiralförmig (typisch für ein Schwingungsglied) zum Ursprung Null () nach endlicher, genügend langer Zeit.
Die Bahnkurve eines PT2-Gliedes mit der Dämpfung und gleichen Anfangswerten kann den Ursprung – wie im Bild dargestellt – nicht umschlingen, sondern erreicht ihn von einem abfallenden Anfangsgradienten auf dem kürzesten Weg.
Aufzeichnung des Verlaufs der Zustandsvariablen f(t) Durch Aufzeichnung des Verlaufs der Zustandsvariablen als Funktion der Zeit nach einem System-Eingangssprung wird ersichtlich, dass die Zustandsvariablen des Übertragungssystems sich dynamisch deutlich schneller verhalten, als die Ausgangsgröße . Die Nutzung dieser vorteilhaften Eigenschaft ist von großer Bedeutung für das Regelverhalten eines Zustandsregelkreises. Die prägenden Begriffe für den Zustandsregelkreis sind Zustandsrückführung und zum konventionellen Gegenstück Ausgangsrückführung.
Siehe im Abschnitt Regelungsnormalform, drittes Bild „Grafische Darstellung der Zustandsvariablen“.
Beispiel Zustandsvariablen und Zustandsgleichungen für ein PT2-Schwingungsglied
Standard-Übertragungsfunktion eines Schwingungsgliedes (PT2-Glied) mit konjugiert komplexen Polen (PT2KK-Glied):
Die zugehörige lineare Differenzialgleichung wird durch Umwandlung mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation ermittelt:
In der Fachliteratur werden zur Vereinheitlichung die Koeffizienten der Ableitungen von (hier T², 2 D T) mit dem Buchstaben dargestellt, für die rechte Seite der Ableitungen von mit und fortlaufend nummeriert:
Die höchste Ableitung wird vom Koeffizienten freigestellt, in dem alle Terme der Gleichung durch dividiert werden und nach aufgelöst wird:Zustandsgleichungen von Eingrößensystemen. In: Gerd Schulz: Regelungstechnik 2.
mini|200px|Blockschaltbild eines Signalflussplanes zur Bestimmung der Zustandsvariablen im Zustandsraum.