In der Mathematik ist das Lefschetz-Paket (auch Hodge-Lefschetz-Paket oder Kähler-Paket) ein abstraktes Prinzip, das sich in völlig unterschiedlichen Gebieten der Mathematik anwenden lässt und in jedem dieser Gebiete die Beweise tiefliegender Vermutungen ermöglicht.
Abstrakte Definition eines Lefschetz-Pakets Zu einem mathematischen Objekt wird eine graduierte Algebra mit zugeordnet, so dass man für eine ganze Zahl (die „Dimension“ des Objekts ) und jede ganze Zahl folgendes hat:
Poincaré-Dualität: einen Vektorraum-Isomorphismus , wobei den zu dualen Vektorraum bezeichnet.
Schwerer Lefschetz-Satz: eine lineare Abbildung , so dass
ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
Hodge-Riemann-Relationen: die durch PD und HL gegebenen Paarung
ist symmetrisch sowie positiv definit auf dem Kern von .
Beispiele Kähler-Geometrie Sei eine geschlossene Kähler-Mannigfaltigkeit mit Kählerform . Dann wird durch die klassische Poincaré-Dualität und die durch
induzierte lineare Abbildung ein Lefschetz-Paket auf der De-Rham-Kohomologie definiert. Dies hat zahlreiche Anwendungen in der Theorie der Kähler-Mannigfaltigkeiten, unter anderem den Hodge-Indexsatz und die Konstruktion und Eigenschaften von Periodenabbildungen.
Weiterhin definiert die Einschränkung von auch ein Lefschetz-Paket auf der Dolbeault-Kohomologie . Allgemeiner kann man zu komplexen projektiven Varietäten ihre Schnittkohomologie betrachten und erhält dann ebenfalls eine Lefschetz-Zerlegung auf .A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne: Faisceaux pervers, Asterisque (1982)
Algebraische Geometrie Sei eine algebraische Varietät. Grothendiecks Standardvermutungen besagen, dass man ein Lefschetz-Paket auf dem Vektorraum der algebraischen Zykel moduli homologischer Äquivalenz hat. Sie sind unbewiesen. Aus den Standardvermutungen folgen die von Deligne mit anderen Methoden bewiesenen Weil-Vermutungen.Kleiman: Algebraic cycles and the Weil conjectures. (online)
Polytope und triangulierte Sphären Die kombinatorische Schnittkohomologie eines konvexen Polytops hat ein Lefschetz-Paket. Mit dem schweren Lefschetz-Satz bewies Stanley die g-Vermutung für simpliziale PolytopeR. Stanley: The number of faces of a simplicial convex polytope, Adv. Math. 35, 236-238 (1980). Kalle Karu erweiterte dies auf allgemeine PolytopeK. Karu: Hard Lefschetz theorem for nonrational polytopes, Invent. Math. 157, 419-447 (2004), und Adiprasito zeigte die g-Vermutung für triangulierte Sphären. Aus den Hodge-Riemann-Relationen folgt die Alexandrov-Fenchel-Ungleichung.
Darstellungstheorie Soergelsche Bimoduln haben ein Lefschetz-Paket. Daraus folgt die Positivität der Koeffizienten der Kazhdan-Lusztig-Polynome sowie ein algebraischer Beweis (Geordie Williamson, Ben Elias) der zuvor von Beilinson-Bernstein, Brylinski-Kashiwara und später Soergel mit anderen Methoden bewiesenen Kazhdan-Lusztig-Vermutung, einer Charakterformel für Darstellungen höchsten Gewichts.B. Elias, G. Williamson: The Hodge theory of Soergel bimodules, Ann. Math. 180, 1089-1136 (2014)
Matroide Der Chow-Ring eines Matroids hat ein Lefschetz-Paket. Aus den Hodge-Riemann-Relationen folgt, dass die Folge der Koeffizienten des chromatischen Polynoms des Matroids log-konkav und damit unimodal ist.K. Adiprasito, J. Huh, E. Katz: Hodge theory for combinatorial geometries, Ann. Math. 188 (2018) Für eine Folge reeller Zahlen bedeutet log-konkav, dass für die Folgenglieder gilt, und unimodular, dass es ein Folgenglied gibt, so dass (die Folge bestehe aus n Folgengliedern) , das heißt sie hat ein Maximum und ist ansonsten auf der einen Seite monoton fallend und auf der anderen monoton steigend. Diese Eigenschaften gelten insbesondere für die Koeffizienten des chromatischen Polynoms von Graphen, eine Vermutung von Ronald C. Read, die June Huh vor dem Beweis des allgemeineren Falls der Matroide bewiesen hat.
Literatur Claire Voisin: Hodge theory and the topology of compact Kähler and complex projective manifolds. online June Huh: Tropical geometry of matroids. online June Huh: Combinatorial applications of the Hodge-Riemann relations, Proc. ICM 2018, Arxiv
Kategorie:Komplexe Geometrie Kategorie:Algebraische Geometrie Kategorie:Euklidische Geometrie Kategorie:Darstellungstheorie von Lie-Gruppen Kategorie:Kombinatorik
Einzelnachweise