Eine pandigitale Zahl (aus griechisch παν: „jedes“ und digital im Sinne der Darstellung durch Ziffern) ist eine dezimale ganze Zahl, die jede der zehn Ziffern von 0 bis 9 genau einmal enthält. Die erste Ziffer darf dabei nicht 0 sein.

Pandigitale Zahlen haben weder in der Mathematik noch in irgendeinem Anwendungsgebiet eine wirkliche Bedeutung. Sie werden zumeist als Kuriosität in mathematischen Rätseln nach Art der Lateinischen Quadrate oder der Sudokus verwendet.

Ein Beispiel ist die Zahl 1.748.592.603.

Jede pandigitale Zahl hat die Quersumme 45 und ist damit durch 9 teilbar: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Es gibt insgesamt 9 · 9! = 3.265.920 pandigitale Zahlen: Es gibt 9 Möglichkeiten für die erste Stelle (da die Null ausgeschlossen ist), 9 für die zweite (da die erste Ziffer ausgeschlossen ist), 8 für die dritte (die ersten beiden Ziffern dürfen nicht noch einmal verwendet werden), 7 für die vierte usw.

Die ersten pandigitalen Zahlen sind 1.023.456.789, 1.023.456.798, 1.023.456.879, 1.023.456.897, 1.023.456.978 ().

Die größte pandigitale Zahl ist 9.876.543.210.

Es gibt 244.423 Fälle, in denen eine pandigitale Zahl das ganzzahlige Vielfache einer anderen pandigitalen Zahl ist. Dies sind oftmals auch mehrere Multiplikationsketten hintereinander mit gleichen oder unterschiedlichen Faktoren.

6760 pandigitale Zahlen starten eine Kette mit mindestens zwei Schritten 68 davon starten eine Kette mit gar drei Schritten Innerhalb der 68 Ketten mit drei Multiplikationsschritten gibt es keinerlei Überschneidungen, was bedeutet, dass eine pandigitale Zahl höchstens drei andere pandigitale Zahlen als Teiler haben kann.

Die kleinste Primzahl, die Teiler keiner einzigen pandigitalen Zahl ist, ist 111.119. Es gibt allerdings einige größere Primzahlen, die dann wieder Teiler mindestens einer pandigitalen Zahl sind.

Die größte Primzahl, die Teiler einer pandigitalen Zahl ist, lautet 1.097.393.447. Mit 9 multipliziert ergibt sie die pandigitale Zahl 9.876.541.023.

Als Gegenstücke existieren einige pandigitale Zahlen, darunter auch sehr große, die ausschließlich mit Potenzen sehr kleiner Primzahlen auskommen, mehr dazu im Abschnitt Besondere pandigitale Zahlen.

Multidigital

Eine allgemeinere Definition von pandigitalen Zahlen ist die folgende: Eine Zahl oder ein mathematischer Ausdruck, der jede Ziffer zu einer Basis genau einmal enthält. In Frankreich werden solche Zahlen auch multidigital genannt, die Zahlen zur Basis 10 decadigital.

Zur Basis 4 ist 1320 eine pandigitale Zahl und 2 + 1 = 3 + 0 eine pandigitale Summe.

Pandigitale Brüche Pandigitale Brüche sind Brüche, die die Ziffern 1 bis 9 genau einmal enthalten.

Beispiele: oder oder

Pandigitale Formeln Pandigitale Formel sind Formeln, die die Ziffern 1 bis 9 genau einmal enthalten.

Beispiele:

approximiert die Zahl Eulersche Zahl e auf 18457734525360901453873570 dezimale Stellen genau.

Besondere pandigitale Zahlen 3.816.547.290 ist die einzige pandigitale Zahl, bei der die ersten n Ziffern (als Zahlen gelesen) jeweils durch n teilbar sind; die erste Ziffer durch 1, die ersten beiden Ziffern durch 2, die ersten drei Ziffern durch 3 usw.:

3 → durch  1 teilbar 38 → durch  2 teilbar 381 → durch  3 teilbar 3816 → durch  4 teilbar 38165 → durch  5 teilbar 381654 → durch  6 teilbar 3816547 → durch  7 teilbar 38165472 → durch  8 teilbar 381654729 → durch  9 teilbar 3816547290 → durch 10 teilbar

9.814.072.356 ist die größte pandigitale Quadratzahl.Gleick: Die Information. 1. Auflage. Redlineverlag, 2011, ISBN 978-3-86881-312-8, S. 366 Ihre Quadratwurzel ist die Palindromzahl 99066.

Insgesamt gibt es 87 pandigitale Quadratzahlen, jedoch keine einzige pandigitale Kubikzahl und auch keine pandigitale Zahl mit einer ganzzahligen Wurzel noch höheren Grades.

Es gibt 3 pandigitale Zahlen, deren Primfaktorzerlegungen nur aus Potenzen einstelliger Primzahlen, sprich 2, 3, 5 und 7, bestehen. Jene sind:

3.891.240.675 = 33 * 52 * 78 6.195.732.480 = 213 * 32 * 5 * 75 9.487.215.360 = 28 * 32 * 5 * 77 gehört zu den größten pandigitalen Zahlen, setzt sich jedoch trotzdem aus den kleinstmöglichen Primzahlen zusammen Zum Vergleich: Die kleinste pandigitale Zahl 1.023.456.789 hat die Primfaktorzerlegung 34 * 2221 * 5689 mit zwei vierstelligen Primzahlen

Die größte pandigitale Zahl, deren Primfaktorzerlegung ausschließlich Primzahlen unter 100 enthält, lautet:

9.876.523.104 = 25 · 35 · 74 · 232 Ihre Differenz zur größtmöglichen pandigitalen Zahl 9.876.543.210 beträgt lediglich 20.106. Im Bereich dazwischen liegen nur noch 55 andere pandigitale Zahlen Das bedeutet, dass es sich hierbei um die 57st größte pandigitale Zahl handelt

Für jede Zahl n lassen sich diejenigen pandigitalen Zahlen bestimmen, in deren Primfaktorzerlegungen die höchste Potenz der jeweiligen Zahl als nk vorkommt, während durch nk+1 keine pandigitale Zahl teilbar ist. Es gibt z. B. drei pandigitale Zahlen, die durch 221 teilbar sind, jedoch keine, die durch 222 teilbar ist, nämlich

3.076.521.984 = 221 * 32 * 163 3.718.250.496 = 221 * 32 * 197 6.398.410.752 = 221 * 33 * 113

Bezogen auf die Zahl 3 gibt es dagegen nur eine pandigitale Zahl, die durch 315 teilbar ist, 316 ist dagegen nicht mehr vertreten:

7.246.198.035 = 315 * 5 * 101 Die Zahl 4 ist als Potenz von 2 mit den gleichen Zahlen vertreten wie oben genannt sowie einer zusätzlichen pandigitalen Zahl, die durch 410 = 220 teilbar ist:

9.805.234.176 = 220 * 32 * 1039

Bei der Zahl 5 ist es – analog zu 3 – nur ein Kandidat, teilbar durch 59, 510 kommt nicht mehr vor:

9.123.046.875 = 33 * 59 * 173

So lässt sich das für jede beliebige Zahl fortführen.

Die Zahl 6 ist beispielsweise gar mit 13 pandigitalen Zahlen vertreten, die durch 68 teilbar sind, während 69 nicht mehr als Teiler einer pandigitalen Zahl vorkommt.

Bei der Zahl 7 ist 78 die höchste Potenz, vertreten durch die bereits oben genannte Zahl:

3.891.240.675 = 33 * 52 * 78 Diese ist auffällig durch die Tatsache, dass sie sich ansonsten nur aus 3er- und 5er-Potenzen zusammensetzt.

Die Zahl 8 ist als Potenz der Zahl 2 mit denselben Kandidaten vertreten, die durch 87 = 221 teilbar sind und die Zahl 9 als Potenz der Zahl 3 mit 8 Vertretern, die durch 97 = 314 teilbar sind, einer davon ist der oben genannte, auch durch 315 teilbare Vertreter.

Berechnungsverfahren Die angegebenen Werte wurden rechnerisch mittels künstlicher Intelligenz bestimmt. Dabei werden je nach Fragestellung nicht sämtliche 3.265.920 pandigitalen Zahlen vollständig untersucht, sondern diejenigen Zahlen erzeugt, die die jeweiligen mathematischen Vorbedingungen erfüllen (beispielsweise vorgegebene Primfaktorzerlegungen oder hohe Potenzen einzelner Primzahlen). Anschließend wird geprüft, welche dieser Kandidaten pandigital sind.

Siehe auch Liste besonderer Zahlen

Weblinks

Einzelnachweise

Kategorie:Ganzzahlmenge