Der Satz von Lüroth ist ein Resultat aus der Algebra. Er wurde von Jacob Lüroth im Jahre 1875 publiziert.
Aussage Sei eine rein transzendente Erweiterung des Körpers vom Transzendenzgrad 1. Ist ein Zwischenkörper, der von verschieden ist, so ist ebenfalls rein transzendent vom Transzendenzgrad 1. Insbesondere ist isomorph zu .
Ein Beweis dazu findet sich bei Ernst Steinitz: Algebraische Theorie der Körper (1910, Seite 302).Siehe auch
Andere Formulierungen Äquivalent kann man den Satz von Lüroth auch so formulieren: Sei ein Körper und der Körper der rationalen Funktionen über , also der Quotientenkörper des Polynomrings . Ist ein Zwischenkörper, der von verschieden ist, so ist für ein Element von . Dieses Element ist immer transzendent über , wohingegen immer algebraisch über ist.
Eine weitere äquivalente Formulierung in der Sprache der algebraischen Geometrie besagt, dass unirationale Kurven rational sind.
Lüroth-Problem Die Frage, ob der Satz von Lüroth auch für Körper vom Transzendenzgrad größer als Eins gilt, ist als Lüroth-Problem bekannt. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Ein Überblick über Teilergebnisse und Gegenbeispiele findet man bei Nathan Jacobson.
Literatur
Einzelnachweise
Luroth Kategorie:Körpertheorie