Eschenburg-Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Sie sind die einfachsten nicht-homogenen Beispiele positiv gekrümmter Mannigfaltigkeiten.
Konstruktion Die Eschenburg-Räume entstehen als Biquotienten einer Links- und Rechtswirkung der Kreisgruppe auf der speziellen unitären Gruppe .
Seien und Tripel ganzer Zahlen mit . Dann betrachtet man die zweiseitige Wirkung von auf der Lie-Gruppe , die durch Linksmultiplikation mit der Diagonalmatrix und Rechtsmultiplikation mit wirkt. Der Biquotient dieser Wirkung ist der Eschenburg-Raum .
Die Wirkung ist genau dann eine freie Wirkung, wenn nicht zu konjugiert ist, also wenn
gilt.
Für erhält man die Aloff-Wallach-Räume.
Eigenschaften Die von einer gewissen links-invarianten Metrik der auf induzierte MetrikEschenburg, op. cit. hat genau dann positive Schnittkrümmung, wenn für gilt.
Es gibt eine Reihe von Diffeomorphismen zwischen Eschenburg-Räumen. So induziert jede Permutation der Einträge in oder eine diffeomorphe Mannigfaltigkeit. Es gilt und es gibt einen (orientierungs-umdrehenden) Diffeomorphismus zwischen und . Weiterhin erzeugt die Addition derselben ganzen Zahl zu allen Einträgen von und einen diffeomorphen Raum.
Die Isometrie-Gruppe eines Eschenburg-Raumes hat Rang .Grove-Shankar-Ziller, op. cit.
Insbesondere hat jeder Eschenburg-Raum positiver Schnittkrümmung eine eindeutige Darstellung mit
.
Für die Kohomologiegruppen gilt
mit . Der Erzeuger von ist das Quadrat des Erzeugers von .
Literatur J.-H. Eschenburg: New examples of manifolds with strictly positive curvature, Invent. Math. 66, 469-480 (1982) K. Shankar: Strong inhomogeneity of Eschenburg spaces, Mich. Math. J. 50, 125-141 (2002) L. Astor, E. Micha, G. Pastor: On the homotopy type of Eschenburg spaces with positive sectional curvature, Proc. AMS 132, 3725–3729 (2004) B. Krüggel: Homeomorphism and diffeomorphism classification of Eschenburg spaces, Quart. J. Math. 56, 553-577 (2005) K. Grove, K. Shankar, W. Ziller: Symmetries of Eschenburg spaces and the Chern problem, Asian J. Math. 10, 647-661 (2006) T. Chinburg, C. Escher, W. Ziller: Topological properties of Eschenburg spaces and 3-Sasakian manifolds, Math. Ann. 339, 3-20 (2007)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Differentialtopologie Kategorie:Riemannsche Mannigfaltigkeit