Ein Spannungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe, der den Spannungszustand in einem bestimmten Punkt innerhalb der Materie beschreibt. Er ist eine wesentliche Größe der Kontinuumsmechanik, in der er bei der Formulierung physikalischer Gesetze auftritt. Eine Kraft wird über Stoffschluss von Körpern durch ein sie ausfüllendes Spannungstensorfeld übertragen, das den Kraftfluss im Körper darstellt. Die Leistung des Spannungstensors an Verzerrungsgeschwindigkeiten trägt zur Energiebilanz bei.
Der Spannungstensor fasst die Normalspannungen in Normalenrichtung, sowie tangential wirkende (transversale) Scherspannungen zu einem mathematischen Objekt zusammen. Die Komponenten des Spannungstensors haben die Dimension M L−1 T −2 also Kraft pro Fläche, für die in der Festkörpermechanik die Einheiten Megapascal (MPa) und Newton pro Quadratmillimeter (N/mm²) üblich sind. Eingeführt wurde der Spannungstensor von Augustin-Louis Cauchy.
Verwendet wird dieser Tensor vor allem in der Physik (Festkörperphysik, Strömungsmechanik und klassische Mechanik, teilweise Geophysik) und in der Elektrodynamik.
Definition Spannungstensoren können in zwei Gruppen eingeteilt werden: Spannungstensoren, die in der Impulsbilanz eingesetzt werden und Spannungstensoren, die in der Materialtheorie eingesetzt werden. Der Cauchy’sche Spannungstensor gehört beiden Gruppen an und ist das am meisten benutzte Spannungsmaß. Er wird oftmals ohne Namenszusatz einfach nur Spannungstensor genannt. Die Spannungstensoren können alle jederzeit und überall ineinander umgerechnet werden, weswegen alle Spannungstensoren physikalisch gleich relevant sind. Sie sind in verschiedenen Kontexten lediglich mehr oder weniger praktisch in der Anwendung. Die Formelzeichen für die Spannungstensoren sind in der Literatur nicht einheitlich. Bei kleinen Verzerrungen braucht nicht zwischen diesen Spannungstensoren unterschieden zu werden. Die Spannungstensoren sind objektive, bezugssysteminvariante Tensoren, d. h. zwei verschiedene Beobachter nehmen die Spannungstensoren immer in gleicher Weise wahr.
Spannungstensoren, die in der Impulsbilanz eingesetzt werden mini|hochkant=2|Zylinder (grau) unter äußerer Belastung (1) mit Schnittebenen (2) und Schnittspannungen (3/rot), die sich aufteilen in Schubspannungen (4/grün) und Normalspannungen (5/gelb)
In einer gedachten Schnittfläche durch die Materie übt die in Gedanken weggeschnittene Materie dem Schnittprinzip folgend auf die verbliebene Materie eine Spannung aus, die sich als Cauchy’scher Spannungsvektor (auch Traktionsvektor genannt) aus einer Normalspannungskomponente (rechtwinklig zur Schnittfläche wirkend) und zwei Schubspannungskomponenten (in der Schnittfläche wirkend) zusammensetzt, die von der Ausrichtung der Fläche abhängen, siehe Bilder.
mini|Komponenten des Spannungstensors σij an einem freigeschnittenen Würfel. Der erste Index verweist auf die Normalenrichtung der Fläche und der zweite Index auf die Wirkrichtung der Spannung. Am jeweiligen Ort schneiden sich drei solche gedachten Schnittflächen mit den Basiseinheitsvektoren des Koordinatensystems als Normalen, siehe den freigeschnittenen Würfel im Bild. Die drei Spannungsvektoren in den drei Schnittflächen definieren den dortigen Spannungszustand vollständig und werden zeilenweise zum Spannungstensor zusammengefasst:
Dabei bezeichnet das dyadische Produkt (Tensorprodukt zweier Vektoren). Die Wahl des Koordinatensystems ist dabei ohne Belang, denn als Tensor ist der Spannungstensor koordinatenunabhängig. Mit dem so definierten Spannungstensor berechnet man den Spannungsvektor an einer infinitesimalen Schnittfläche mit dem Normalenvektor gemäß:
Die Transposition „( · )T“ ist der Bedeutung der Indizes der Komponenten geschuldet. Zu Ehren seines Urhebers wird dieser Tensor auch Cauchy’scher Spannungstensor genannt, der sich aus den „wahren“ oder „aktuellen“ Spannungen zusammensetzt. Er ist auf Grund des zweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes (Drehimpulsbilanz) symmetrisch und wird in der Euler’schen Betrachtungsweise benutzt.
Bei der Umrechnung der Spannungsvektoren von der räumlichen Euler’schen in die materielle Lagrange’sche Darstellung muss die Änderung der Oberflächenelemente berücksichtigt werden. Darin ist F der Deformationsgradient, FT−1 die Inverse seiner Transponierten und det(F) seine Determinante. Die Normaleneinheitsvektoren und sind genauso wie die Differentiale da und dA in der räumlichen bzw. der materiellen Darstellung definiert. Damit lautet ein „Oberflächenkraftelement“:
Darin ist N der Nennspannungstensor (), der die Spannungen bezogen auf die Ausgangsfläche repräsentiert, und P ist der erste Piola-Kirchhoff’sche Spannungstensor. Diese beiden Tensoren sind im Allgemeinen unsymmetrisch, aber die Produkte F · N und P · FT müssen symmetrisch sein, siehe #Drehimpulsbilanz oder zweites Cauchy-Euler’sches Bewegungsgesetz.
Weitere in der Materialtheorie eingesetzte Spannungstensoren Beim Spannungstensor handelt es sich um ein Tensorfeld, das an jedem materiellen oder räumlichen Punkt innerhalb eines Körpers definiert ist. Erstere materielle Sichtweise entspricht der Lagrange’schen Darstellung und letztere räumliche der Euler’schen Darstellung. Beide Betrachtungsweisen definieren mehrere Spannungstensoren:
Den räumlichen Cauchy’schen Spannungstensor Den räumlichen gewichteten Cauchy’schen oder Kirchhoff’schen Spannungstensor , der in der Metall-Plastizität angewendet wird, wo die plastische Inkompressibilität J konstant gehalten wird, Den materiellen zweiten Piola-Kirchhoff’schen Spannungstensor , der beispielsweise bei der Cauchy-Elastizität angewendet wird, Den materiellen konvektiven SpannungstensorBezeichnung nach Haupt (2010), der auf verweist. Viskoser Spannungstensor in fließenden Medien
Darin ist F der Deformationsgradient, F−1 seine Inverse, FT−1 die Inverse der Transponierten und J = det(F) seine Determinante. Diese Spannungstensoren sind auf Grund der Drehimpulsbilanz symmetrisch. Die Benutzung dieser Tensoren wird im Abschnitt #Energiebilanz vorgestellt.
Umrechnung der Spannungstensoren ineinander Die Tabelle fasst die Umrechnung der Tensoren zusammen.
Darin ist F der Deformationsgradient, F−1 seine Inverse, FT−1 seine transponiert Inverse, J = det(F) seine Determinante und C = FT · F der rechte-Cauchy-Green-Tensor.
Schreibweisen In Matrizenschreibweise wird ein Spannungstensor in folgenden, üblichen Formen angegeben:
Manchmal, wie in der linken Matrizenschreibweise, wird der Index der Normalspannungskomponente nur einfach notiert (wie in σx = σxx), denn bei ihr ist Normalen- und Wirkrichtung gleich. Es muss jedoch gewährleistet sein, dass eine Verwechselung mit den Hauptspannungen (σ1,2,3 oder σI,II,III) ausgeschlossen ist.
Die symmetrischen Spannungstensoren, insbesondere der Cauchy’sche Spannungstensor, bestehen nicht aus neun unabhängigen Größen, sondern nur aus sechs und können in der Voigt’schen Notation als ein 6×1-Vektor geschrieben werden, wodurch die Notation deutlich vereinfacht wird:
Eigenschaften der symmetrischen Spannungstensoren
Für Matrizen wie für Spannungstensoren sind Eigenwerte σi und Eigenvektoren bedeutsam, die das Eigenwertproblem
lösen. Die Eigenwerte sind bezugssysteminvariant, aber es gibt noch weitere Invarianten (die aus den drei Eigenwerten ableitbar sind), die für die Beurteilung des Spannungszustands geeignet sind.
Bei den symmetrischen Spannungstensoren sind die Eigenwerte sämtlich reell und die Eigenvektoren paarweise senkrecht oder orthogonalisierbar.
Hauptspannungen und maximale Schnittspannungen Die Eigenwerte werden Hauptspannungen und die (auf die Länge eins normierten und deshalb mit Hut geschriebenen) Eigenvektoren Hauptspannungsrichtungen genannt, siehe Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung. In den Hauptspannungsrichtungen gibt es nur Normalspannungen und keine Schubspannungen.
Die Eigenwerte ergeben sich aus der charakteristischen Gleichung
worin die Koeffizienten für die Hauptinvarianten
stehen und die Komponenten die Spannungskomponenten im kartesischen xyz-System sind. Der Operator „Sp“ bildet die Spur, „det“ die Determinante und 1 ist der Einheitstensor.
Die Hauptspannungsrichtungen sind paarweise senkrecht zueinander oder orthogonalisierbar und bilden somit eine Orthonormalbasis. In diesem Basissystem besitzt der Spannungstensor Diagonalgestalt:
Die Beträge der Schnittspannungsvektoren
nehmen in zwei der drei Hauptspannungsrichtungen Extremwerte an.
Beweis Weil die Wurzelfunktion monoton mit ihrem Argument wächst, kann einfacher nach den Extremwerten der Betragsquadrate gesucht werden:
Darin ist λ ein Lagrange’scher Multiplikator für die Nebenbedingung Im Extremum ist und daher wie gewünscht Des Weiteren verschwindet die Richtungsableitung
in allen Richtungen weshalb der Vektor in den runden Klammern der Nullvektor ist und
folgt. Demnach ist Eigenvektor von und diese Vektoren stimmen mit den Eigenvektoren von überein wegen
Üblicherweise sind die Hauptspannungen σI, II, III so benannt, dass σI ≥ σII ≥ σIII gilt. Dann liegt in der I-Richtung der betraglich größte und in III-Richtung der betraglich kleinste Schnittspannungsvektor.
Maximale Schubspannungen Die maximalen Schubspannungen treten in einer Ebene e auf, die senkrecht zu einer Hauptspannungsrichtung ist. Der Mohr’sche Spannungskreis zeigt, dass die maximale Schubspannung im 45°-Winkel zu den Hauptspannungsrichtungen in der Ebene e vorkommt und betraglich gleich der halben Differenz der entsprechenden Hauptspannungen ist. Damit resultiert für die maximale Schubspannung:
Falls σI = σIII ist, befindet sich der materielle Punkt unter hydrostatischem Zug/Druck und in keiner Ebene finden sich Schubspannungen.
Ist die 1-3-Ebene die xy-Ebene und in ihr ein ebener Spannungszustand (σx, σy, τxy) gegeben, dann lautet die maximale Schubspannung
Beweis Eine Herleitung der maximalen Schubspannungen gelingt durch Extraktion der Schubspannungen aus dem Spannungstensor über
Die Basiseinheitsvektoren ê1,2,3 gehen durch Drehungen aus Basiseinheitsvektoren êx,y,z einer beliebigen Orthonormalbasis hervor und es ist diejenige Drehung gesucht, die τ12 stationär werden lässt. Drehungen werden mit orthogonalen Tensoren Q dargestellt, die die Eigenschaften Q · QT = 1 mit dem Einheitstensor 1 aufweisen. Sei also ê1,2,3 = Q · êx,y,z = êx,y,z · QT. Dann soll
stationär werden unter der Nebenbedingung Q · QT = 1. Der Doppelpunkt „:“ bildet das Frobenius-Skalarprodukt zweier Tensoren A und B mittels der Spur A : B := Sp(AT · B). Die Nebenbedingung wird mit einem tensoriellen Lagrange’schen Multiplikator L in der Zielfunktion berücksichtigt:
Stationarität tritt ein, wenn die Richtungsableitungen in allen Richtungen H für beide Argumente der Zielfunktion verschwinden. Wenn
in allen Richtungen H gilt, dann ist wie gewünscht die Nebenbedingung notwendig erfüllt. Für die Variation des orthogonalen Tensors errechnet sich unter Ausnutzung der Eigenschaften des Skalarprodukts
Weil H beliebig ist und Q vollen Rang hat, verschwindet der Tensor in den eckigen Klammern, und weil der Tensor B symmetrisch ist, ist es der Tensor A ebenfalls. Im 123-System zeigt sich
Also ist τ13 = τ32 = 0, σ11 = σ22 und bei einem symmetrischen Spannungstensor folgt:
Damit ist ê3 Eigenvektor des Spannungstensors zur Hauptspannung σIII = σ33. Die anderen Eigenwerte/Hauptspannungen sind σI,II = σ11 ± τ12 zu den Eigenvektoren ê1 ± ê2, die im 45°-Winkel zu den Vektoren ê1,2 liegen, siehe Mohrscher Spannungskreis.
Sei êz = ê3, sodass Q um die z-Richtung dreht. Dann berechnet sich mit dem Drehwinkel φ, den Winkelfunktionen sin und cos und ihren Doppelwinkelfunktionen:
Aus der letzten Bedingung und den Doppelwinkelfunktionen resultiert der Tangens des doppelten Drehwinkels
woraus sich schließlich mit den gegenseitigen Darstellungen der Winkelfunktionen die maximale Schubspannung ermittelt zu
Die letzte Form mit den Hauptspannungen σI,II ergibt sich aus
im ebenen Spannungszustand.