Der Kowalewskaja-Kreisel ist in der Kreiseltheorie einer der drei Kreiseltypen, deren Bewegungsgleichungen bei beliebigen Anfangsbedingungen analytisch gelöst werden können. Er ist ein schwerer symmetrischer Kreisel, dessen drei Hauptträgheitsmomente A, B und C die Bedingung A = B = 2C erfüllen, und dessen Massenmittelpunkt in der Ebene liegt, die von den zu A und B gehörenden Hauptachsen aufgespannt wird.
Sofja Wassiljewna Kowalewskaja gab die Entdeckung des Kreisels 1888 in einer preisgekrönten Arbeit über die Rotation eines Starrkörpers um einen FixpunktDie Artikelund enthalten die Ausarbeitungen, die am 25. Dezember 1888 mit dem Bordin-Preis ausgezeichnet wurden. und gleich auch die Lösung der Euler-Poisson-Gleichungen bekannt. Für die Darstellung der Lösungsfunktionen benötigte Kowalewskaja etwa 50 Seiten, was die Komplexität der Bewegungsmöglichkeiten des Kreisels unterstreicht. Die Vereinfachung der Lösung und die Klassifizierung der Bewegungsmodi ist so aufwändig, dass sie die Wissenschaft noch bis ins 21. Jahrhundert beschäftigtensiehe und.
Die Kowalewskaja-Konstante K = k² verschwindet für Staude-Drehungen, siehe die Animationen in Abb. 3 und 4. Das Bifurkationsdiagramm des Kowalewskaja-Kreisels ist durchsetzt mit Separatrizen, die Phasen, wo gleichartige, topologisch verwandte Bewegungstypen auftreten, voneinander trennen, siehe Abb. 5. Eine typische Bewegung des Kowalewskaja-Kreisels weist im körperfesten Raum der Drehimpulse Trajektorien auf, die einen ringförmigen Schlauch umlaufen und ihn dabei dicht ausfüllen, siehe Abb. 6a-d. Die Separatrizen sind die Phasengrenzen, in deren Zentren eine instabile periodische Bahn liegt. In fast allen Phasen durchläuft der Kreisel Gebiete stabilen und instabilen Verhaltens. Diese Tatsache kann mit Fomenko-Graphen skizziert werden, siehe Abb. 7. Poincaré-Schnitte sind eine weitere Möglichkeit das Verhalten zu veranschaulichen, indem wie in einer Landkarte die stabilen Bereiche eingefärbt werden, an deren Grenzen die Separatrizen liegen, siehe Abb. 8.
Der Kowalewskaja-Kreisel ist von kreiseltheoretischer Bedeutung und kann zur Modellierung gewisser Phänomene in stationären Strömungen inkompressibler Flüssigkeiten verwendet werden; eine technische Anwendung gibt es jedoch Anfang des 21. Jahrhunderts noch nicht.Tuschmann und Hawig (1993), S. 124.
Realisierungen
Das Trägheitsellipsoid des Kowalewskaja-Kreisels ist rotationssymmetrisch aber der Massenmittelpunkt befindet sich nicht auf der Symmetrieachse. Das ist nur bei inhomogener Massenverteilung möglichMagnus (1971), S. 126.. Auf Hermann Schwarz geht eine Konstruktion mit zwei Zylindern zurückAudin (2008), S. 99. und P. H. Richter benutzte die Form mit einem Kreisring und drei MassenpunktenRichter, Dullin und Wittek (1997), S. 36f., die auch in den Animationen unten verwendet wurde. In den Abbildungen 1 und 2 bezeichnet s den Massenmittelpunkt und das Koordinatenkreuz den Stützpunkt.
Phänomenologie
Karussell-Bewegungen
Die Karussell-Bewegungen sind Staude-Drehungen des Kowalewskaja-Kreisels, bei denen der Kreisel um eine lotrechte Achse rotiert, die mit keiner der Hauptträgheitsachsen übereinstimmt. In Abb. 3 tut er das in stabiler Weise und in Abb. 4 ist der Schwerpunkt zu hoch und die Karussell-Bewegung wird instabil. In beiden Animationen wurde der Neigungswinkel zwischen der 1-Achse und der Lotlinie um 0,01 rad gegenüber dem anfänglichen Sollwert erhöht, was in Abb. 3 unbemerkt bleibt, in Abb. 4 jedoch zum periodischen Ausbrechen des Kreisels führt.
Karussell-Bewegungen entstehen unter den Bedingungen
n2 = q = p² + c n1 = k = 0.
siehe #Gleichgewichtslösungen.
Bifurkationsdiagramm des Kowalewskaja-Kreisels
mini|hochkant=2|zentriert|Abb. 5: Bifurkationsdiagramm des Kowalewskaja-Kreisels (schematisch)
Einen Eindruck von der Komplexität des Verhaltens des Kowalewskaja-Kreisels vermittelt das Bifurkationsdiagramm in Abb. 5. Bifurkation (Verzweigung) ist das Phänomen, dass ein System an einem kritischen Punkt in verschiedene Zustände verzweigen kann. So kann ein lotrecht stehender Stab bei kleiner Störung nach links oder rechts umfallen sofern er irgendwie an eine Ebene gebunden ist. Die Trennlinie zwischen den beiden Pfaden ist eine Separatrix, von der auch beim unsymmetrischen Euler-Kreisel eine existiert. Die Bewegungen entlang der Separatrizen sind oft instabil.
Die kritischen Punkte beim Kowalewskaja-Kreisel stellen sich bei bestimmten Werten der Gesamtenergie h und des vertikalen Drehimpulses l ein. Das Bifurkationsdiagramm wird durch die #Gleichgewichtslösungen in fünf Flächen geteilt, wobei in der weißen Fläche O unphysikalische Parameterkombinationen auftreten, die dem Kreisel verboten sind. Die eingefärbten Bereiche sind dem Kreisel zugänglich und er zeigt in den roten, gelben, blauen und grauen Gebieten jeweils topologisch ähnliches Verhalten.
Der linke Rand a–b definiert den lotrecht hängenden Kreisel, dessen Bewegung immer stabil ist, und die Linie d–e den lotrecht aufrechten Kreisel, dessen Bewegung immer instabil ist. Charakteristisch für den Kowalewskaja-Kreisel sind die Karussell-Bewegungen, die auf der Linie u-v-w stattfinden und die auf der Linie u–v stabil und im Bereich v–w instabil sindRichter, Dullin und Wittek (1997), S. 11ff., siehe Abb. 3 und 4. Entlang der zusätzlich eingezeichneten Linien verzweigen die periodischen Orbits, die der Kreisel beim minimalen oder maximalen Wert der Kowalewskaja-Konstante verfolgt, siehe Abb. 7.
An den im Bifurkationsdiagramm eingezeichneten Linien finden Bifurkationen statt: A–F, C–D, G–H: Bifurkation der Energiefläche A–B, F–G: elliptische Pitchfork-Bifurkation D–E: hyperbolische Pitchfork-Bifurkation B–C, B–J: Tangenten Bifurkation E–H: hyperbolische Periodenverdoppelungsbifurkation
In den Gebieten dazwischen sind die Energieflächen einheitlich geblättert.
Analytische Form des Bifurkationsdiagramms Die Tabelle gibt die analytischen Darstellungen der Phasengrenzen in Abb. 5 für c = 1. Bifurkation Darstellung Kowalewskaja-Konstante Definitionsbereich a–b l = 2p, h = p2 - 1 k2 = ( p2 + 1 )2 p > 0 d–e l = -2p, h = p2 + 1 k2 = ( p2 - 1 )2 p > 0 u–v l = -p3 - p−1, h = p2 + p−2 k2 = 0 0 < p < 3−0,25 v–w l = -p3 - p−1, h = p2 + p−2 k2 = 0 3−0,25 < p < 1 B–C, B–J l2 = h3 k2 = 1 - h2/3 0 < h < √3 A–B, F–G l2 = 2h k2 = 0 h > 0 E-D, E–H l2 = h ± √(h2 - 2) k2 = l−4 h > √2
Familien gleicher Tori
Bei einer gegebenen Bewegung des Kowalewskaja-Kreisels sind die Gesamtenergie, der Drehimpuls in Lotrichtung und die Kowalewskaja-Konstante unveränderlich. Weil der Kowalewskaja-Kreisel ein integrables System darstellt, bewegt sich der Drehimpuls im körperfesten Hauptachsensystem auf einem ringförmigen Schlauch oder Torus und die Trajektorien füllen diesen dicht ausRichter, Dullin und Wittek (1997), S. 56f., siehe Abb. 6a. Der Torus kann sich dabei selbst durchdringen, die Außenseite ist heller als die Innenseite getönt. Bei gleicher Gesamtenergie und gleichem Drehimpuls in Lotrichtung verändern sich die Tori stetig mit der Kowalewskaja-Konstante und bilden eine Familie, was die Farbgebung andeuten soll. An einem Verzweigungspunkt, gehen die Tori in andere Familien über. Der Verzweigungspunkt ist eine Separatrix, die diesen angrenzenden Torifamilien gemeinsam ist, Abb. 6b und c. Im gezeigten Fall aus dem Gebiet B treffen in der Separatrix ein roter und zwei zueinander symmetrische grüne Tori zusammen. Im Zentrum der Separatrix liegt ein instabiler periodischer Orbit, den der Kreisel bei geringster Störung entlang der Separatrix verlässt, wobei er in einen der benachbarten Tori verzweigt. Nimmt die Kowalewskaja-Konstante zu oder ab, kann der Kreisel auf einen weiteren Verzweigungspunkt treffen, oder bei einem extremalen Wert der Konstanten in einem stabilen periodischen Orbit enden, wie dem grauen in Abb. 6d. Mit ansteigender Kowalewskaja-Konstante durchläuft der Kreisel in den Gebieten A bis J immer in gleicher Weise stabile Orbits, zwischen denen Separatrizen liegen. Das lässt sich mit Fomenko-Graphen versinnbildlichen.
Fomenko-Graphen
mini|zentriert|540px|Abb. 7: Fomenko-Graphen
Die Abfolge der Bifurkationen bei zunehmender Kowalewskaja-Konstante lassen sich in Fomenko-Graphen darstellen, die in den Gebieten A bis J jeweils gleich geartet sind. In den freien Enden der Äste der Graphen finden stabile Bewegungen statt. Wo Äste verschiedener Farben aufeinander treffen findet eine Bifurkation entlang von Separatrizen statt. Die verschiedenen Farben gruppieren Bewegungstypen. Entlang der lila Äste beispielsweise finden karussellartige Bewegungen stattRichter, Dullin und Wittek (1997), S. 25f..
Poincaré-Schnitte
mini|Abb. 8: Poincare-Schnitte entlang eines Pfades D-C-B-A im Bifurkationsdiagramm Einen anschaulichen Eindruck vermitteln die Poincaré-Schnitte, siehe Abb. 8. Eine Trajektorie füllt im Phasenraum der Drehimpulse einen ringförmigen Schlauch, einen Torus, dicht aus. Die Tori werden durch die Kowalewskaja-Konstante k charakterisiert. Bei einem kritischen Wert von k entarten die Tori zu einer Separatrix, die einer instabilen periodischen Bahn entspricht.
Die Trajektorien des Kreisels werden mit einer Kugel verschnitten, die Oberfläche dieser Kugel gemäß der Familie der geschnittenen Tori eingefärbt und in die Ebene projiziert. Die Farben entsprechen den Familien der Tori und die Helligkeit wächst mit k. Die stabilen Orbits sind die hellen und dunklen Zentren der Flächen. Die Flächen werden durch Separatrizen getrennt, an denen deutliche Farbsprünge auftreten. Die Schnittpunkte von Separatrizen sind instabile periodische Orbits.
Zwischen D und C findet eine Bifurkation der Energiefläche statt und der gelbe Bereich verschwindet. Zwischen C und B verschwindet blau in einer Tangenten-Bifurkation. Zwischen B und A verschwindet grün in einer Pitchfork-BifurkationRichter, Dullin und Wittek (1997), S. 22f..
Lösung der Bewegungsgleichungen Euler-Poisson-Gleichungen
Aus Symmetriegründen kann die zu A gehörende erste Hauptträgheitsachse so gewählt werden, dass der Massenmittelpunkt des Kreisels auf ihr liegt. Damit spezialisieren sich die Euler-Poisson-Gleichungen beim Kowalewskaja-Kreisel zuMagnus (1971), S. 126, Richter, Dullin und Wittek (1997), S. 12.
Darin stehen p, q, r = ω1,2,3 für die Winkelgeschwindigkeiten, der Vektor für die Richtung der Gewichtskraft des Kreisels, jeweils ausgedrückt im mitrotierenden Hauptachsensystem, auf das sich die Indizes 1,2,3 beziehen. Der Parameter
setzt sich aus der Masse m, der Schwerebeschleunigung g, dem Abstand s1 des Massenmittelpunkts vom Stützpunkt und dem Hauptträgheitsmoment A um die 1-Achse oder C um die 3-Achse zusammen. Die Konstante c quantifiziert die Wirkung der Gewichtskraft auf den Kreisel und mit c = 0 entsteht ein symmetrischer kräftefreier Euler-Kreisel.
Durch Skalierung der Zeit mit und der Winkelgeschwindigkeiten mit entstehen Bewegungsgleichungen mit c = 1, sodass sie keinen freien Parameter mehr besitzen. Mathematisch reicht es aus, nur diesen einen Fall zu untersuchenRichter, Dullin und Wittek (1997), S. 36.. Kowalewskaja skalierte die Längen so, dass A = 2C = 2 wirdKowalewskaja (1888), S. 184..
Integrale der Bewegung mini|Abb. 9: Kurven mit k2 = 0,36 und n2 = 0 in Abhängigkeit von c n1 in der 1-2-Ebene Wie bei jedem schweren Kreisel ist die Norm des Richtungsvektors der Gewichtskraft, der Drehimpuls in Lotrichtung und die Gesamtenergie E konstant:
Diese Konstanten werden in der Kreiseltheorie Integrale genannt, die ersten beiden auch Casimir-Invarianten. Die Gesamtenergie wird in der analytischen Mechanik auch als Hamilton-Funktion bezeichnet, was ihre Benennung mit h begründet. Beim Kowalewskaja-Kreisel gibt es noch ein viertes rationales Integral, die Kowalewskaja-Konstante