mini|Abb. 1: Realisierung eines Lagrange-Kreisels Der Lagrange-Kreisel ist ein schwerer symmetrischer Kreisel, dessen Stützpunkt und Massenmittelpunkt beide auf seiner Figurenachse liegen, sodass die Gewichtskraft ein Drehmoment auf ihn ausübt. Eine typische Kreiselbewegung zeigt Abb. 1.
Joseph-Louis Lagrange konnte 1788 als erster die zugehörigen Bewegungsgleichungen lösen, weswegen Lagranges Name mit diesem Kreisel verbunden ist. Gegenüber dem kräftefreien Euler-Kreisel bekommt der Lagrange-Kreisel durch die auf der Erde allgegenwärtige Schwerkraft eine besondere Relevanz. Er ist kreiseltheoretisch eng verwandt mit dem reibungsfreien Spielkreisel.
Die Bahnlinie eines Punktes auf der Figurenachse, kurz die Locuskurve, ähnelt einer Zykloide und kann Spitzen oder Schleifen besitzen, siehe Abb. 3 bis 5. Besondere Bewegungsformen des Lagrange-Kreisels sind die reguläre Präzession, bei der der Kreisel gleichförmig um die Vertikale kreist, siehe Abb. 1, 7 und 8. Die pseudoreguläre Präzession ist von der regulären zwar mit dem Auge nicht zu unterscheiden, führt aber auf kleinskaliger Ebene rasche Schwingungen aus. Paradox erscheint die reguläre oder pseudoreguläre Präzession mit horizontaler Figurenachse, die der Kreisel entgegen seiner Gewichtskraft beibehalten kann, siehe Abb. 2. Die Bewegung des lotrecht hängenden Kreisels ist immer stabil, bei der lotrecht aufrechten Position muss für die Stabilität eine kritische Winkelgeschwindigkeit überschritten werden. In dem Fall verlässt der Kreisel die Senkrechte nicht ohne Anlass und wird schlafender Kreisel genannt. Der nicht um seine Figurenachse drehende Lagrange-Kreisel ist ein sphärisches Pendel, das hier nur am Rand berührt wird.
Die Bewegungen des Lagrange-Kreisels sind neben denen des Euler- und Kowalewskaja-Kreisels eine der drei immer integrablen Fälle. Insbesondere die Locuskurve lässt sich analytisch untersuchen und gibt so Aufschluss über die Kreiselbewegung und ihre Stabilität gegenüber Störungen.
Der Lagrange-Kreisel wird durch einen typischen Spielzeugkreisel realisiert, wenn dessen Aufsetzpunkt wie in der Animation am Boden frei drehbar fixiert ist, eine Einschränkung, die beim Vergleich des Spielkreisels mit dem Lagrange-Kreisel diskutiert wird.
Bezeichnungen am Lagrange-Kreisel Jeder Lagrange-Kreisel hat drei Freiheitsgrade für die in der Kreiseltheorie der Präzessionswinkel ψ, der Neigungswinkel ϑ und die Eigendrehung φ benutzt werden, siehe Euler-Winkel in der Kreiseltheorie. Der Lagrange-Kreisel ist ein Symmetrischer Kreisel mit Figurenachse, wo die Bezeichnungen äquatoriale Ebene, äquatoriales Trägheitsmoment und axiales Trägheitsmoment nachgeschlagen werden können. Die Lotrichtung der Schwerkraft ist die vertikale oder senkrechte Präzessionsachse und die dazu parallele nach oben weisende Achse bezeichnet die z-Richtung. Die Präzessionsachse und die Figurenachse spannen die Präzessionsebene auf. Die Knotenlinie oder Knotenachse steht senkrecht auf der Präzessionsebene, siehe auch Knoten (Astronomie). Ebenso steht das Moment der Gewichtskraft senkrecht auf der Präzessionsebene, weil sie beim Lagrange-Kreisel senkrecht zur Präzessionsachse und zur Figurenachse ist. Die Knotenachse ist so orientiert, dass sie gleichsinnig parallel zum Moment der Gewichtskraft ist.
Beim aufrechten oder gehobenen Kreisel weist die Figurenachse nach oben, bildet mit der Gewichtskraft also einen stumpfen Winkel, während beim hängenden oder gesenkten Kreisel dieser Winkel spitz ist und der Kreisel nach unten hängt.
Klassifizierung der Lagrange-Kreisel Lagrange-Kreisel unterscheiden sich kreiseltheoretisch nur in drei Größen: dem axialen Trägheitsmoment C = Θ3 um die Figurenachse, dem äquatorialen Trägheitsmoment A = Θ1 = Θ2 um dazu senkrechte Achsen und dem Stützpunktmoment c0 = mg s, das sich aus dem Abstand s zwischen Stützpunkt und Schwerpunkt und der Gewichtskraft mg des Kreisels ergibt.
Bei der Bewegung des Lagrange-Kreisels gibt es die folgenden Integrale der Bewegung, die in der Kreiseltheorie kurz Integrale genannt werden: Gesamtenergie E des Kreisels Sie setzt sich aus der Lage- und der Rotationsenergie zusammen. Das Schwerefeld der Erde ist konservativ und die Kreiselbewegung befolgt somit den Energieerhaltungssatz. Drehimpuls Lz um die Lotlinie Dieser ist konstant, weil die Lotlinie parallel zur Gewichtskraft ist, deren Moment daher den Drehimpuls Lz nicht verändern kann. Axialer Drehimpuls L3 um die Figurenachse Dieser ist konstant, weil der Schwerpunkt des Lagrange-Kreisels per definitionem auf der Figurenachse liegt und das Moment der Gewichtskraft senkrecht zu ihrem Hebelarm ist, der hier vom Stützpunkt zum Schwerpunkt weist. Daher kann sich der Endpunkt des Drehimpulsvektors nur in einer Ebene senkrecht zur Figurenachse bewegen, siehe auch Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls beim symmetrischen Kreisel. Somit ist die Komponente L3 im körperfesten System konstant.
Dissipative Einflüsse wie Reibung werden, wenn nicht ausdrücklich erwähnt, vernachlässigt. Alle Lagrange-Kreisel, die in A, C, c0, E, Lz und L3 übereinstimmen und aus gleichen Ausgangspositionen starten zeigen identisches Verhalten.
Homologe Kreisel Um die Locuskurve zu analysieren, reicht es aus, Kugelkreisel mit A = Θ1 = Θ2 = Θ3 = C zu betrachten, deren Trägheitsmomente also gleich dem äquatorialen Trägheitsmoment A eines interessierenden Kreisels sind. Denn alle Kreisel die denselben Drehimpuls besitzen und in den Größen A, c0 sowie einer Konstanten k übereinstimmen, die potentielle- und kinetische Energien kombiniert, zeigen bei gleicher Ausgangsposition gleiche Locuskurven. Diese sich ähnelnden Kreisel – und dazu gehören auch besagte Kugelkreisel – werden einander homolog genannt. Die Analyse von Kugelkreiseln ist in dieser Hinsicht gleichzeitig einfacher und allgemeiner. Die Gemeinsamkeiten aller homologen Lagrange-Kreisel beschränken sich allerdings auf die Locuskurve und schließen insbesondere nicht den Eigendrehwinkel φ um die Figurenachse ein. Die Differenz der entsprechenden Eigendrehgeschwindigkeit zwischen zwei homologen Kreiseln ist jedoch immer konstant. Diese Ähnlichkeiten in den Kreiselbewegungen fiel erstmals Gaston Darboux auf.
Phänomenologie der Kreiselbewegungen Darstellung der Locuskurve Zentral bei der Diskussion der Bewegungen eines Lagrange-Kreisels ist die Locuskurve, auf der sich der Durchstoßpunkt der Figurenachse durch die Einheitskugel um den Stützpunkt, der Locus der Figurenachse, bewegt. Als Orientierungshilfe werden an dieser Kugel Bezeichnungen aus der Geographie übernommen: Der obere Totpunkt liegt im Nordpol und der untere Totpunkt im Südpol der Kugel. Die horizontale Ebene durch den Stützpunkt schneidet die Kugel am Äquator und ein zu ihm paralleler Kleinkreis der Kugel wird Breitenkreis genannt. Ein halber Großkreis, der den Nordpol und Südpol verbindet heißt Meridian.
Zur Darstellung der Locuskurven von hängenden Kreiseln in den Abbildungen 3 und 4 wurde eine stereografische Projektion verwendet. Das Projektionszentrum ist über dem Stützpunkt × und der Bildebene im Nordpol der Kugel.
Alternativ werden auch perspektivische Ansichten wie in Abb. 5 benutzt.
Die Kreiselwirkung des axialen Drehimpulses
mini|Abb. 2: Waagerecht im Kreis (entlang der roten Ellipse R) präzedierendes Speichenrad (fett schwarz) Bei der Bewegung des Lagrange-Kreisels folgt der axiale Drehimpuls L3 der Figurenachse. Dem Drallsatz zufolge entsteht daher beim Richtungswechsel der Figurenachse eine Kreiselwirkung, die dieser Bewegung genau entgegengesetzt ist.
Dieser Mechanismus ermöglicht die paradoxe Bewegung des waagerechten Kreisels, bei dem sich die Figurenachse in der horizontalen Ebene bewegt, siehe Abb. 2. Hier ist die besagte Kreiselwirkung horizontal orientiert und wenn diese gerade so groß ist, dass sie das immer horizontale Moment der Gewichtskraft ausgleicht, bleibt die Figurenachse in der horizontalen. Die Bedingung für diese besondere reguläre Präzession ist Lz · L3 = A · c0, siehe #Reguläre Präzession.
Im Allgemeinen besitzt die Kreiselwirkung jedoch eine horizontale und eine vertikale Komponente. Letztere wird durch kein äußeres Moment ausgeglichen, sodass der Kreisel durch die vertikale Kreiselwirkung ablenkt wird. Der Kreisel weicht dabei soweit aus, bis in der horizontalen ein dynamisches Gleichgewicht mit der Gewichtskraft gefunden ist.
Locuskurven in Abhängigkeit von L3
Die Abb. 3 zeigt Kreiselbewegungen ohne vertikalen Drehimpuls, wo die Umrundung des Südpols ausschließlich durch die oben beschriebene Kreiselwirkung des axialen Drehimpulses hervor gerufen wird. Im Fall L3 = 0 entspricht der Kreisel einem sphärischen Pendel, das zwischen den Punkten a, dem Südpol und c hin und her schwingt (senkrechte grüne Linie). Mit zunehmendem axialen Drehimpuls wird durch dessen Bewegung die Figurenachse immer stärker in Bewegungsrichtung rechts abgelenkt. Wird L3 größer als etwa 10, werden die durchlaufenen Bögen so klein, dass sie mit dem Auge nicht mehr als solche erkennbar sind. Diese dann regelmäßig erscheinende Bewegung wird pseudoreguläre Präzession genannt und führt hier am Äquator abcd entlang.
Durch einen Drehstoß in horizontaler Richtung im Uhrzeigersinn bekommt das sphärische Pendel einen Drehimpuls Lz = -0,3, siehe Abb. 4 grüne Kurve. Bei L3 = -Lz schwingt der Kreisel durch den Südpol (gelbe Kurve). Die Schleifen, die bei L3 > -Lz auftreten, werden auch hier mit L3 > 10 so klein, dass sie mit dem Auge nicht mehr als solche erkennbar sind und der Kreisel eine pseudoreguläre Präzession entlang des Äquators zeigt. Bekommt der Kreisel einen Drehimpuls L3 < -Lz, dann wird er in Bewegungsrichtung so weit nach links abgelenkt, dass er den unteren Totpunkt verfehlt. Bei kann er in regulärer Präzession am Äquator adcb entlang laufen (schwarzer Kreis). Unterhalb dieses Wertes liegt die Locuskurve in der Nordhalbkugel, zeigt dort zunächst Wellen, später Spitzen und schließlich Schleifen. Ab L3 < -10 sind diese Schleifen wieder so klein, dass eine pseudoreguläre Präzession entlang des Äquators stattfindet.
Locuskurven in Abhängigkeit von Lz
mini|Abb. 5: Locuskurven eines aufrechten Lagrange-KreiselsSimulierte Locuskurven mit A = c0 = 1, cosϑ0 = 0,8. Abbildung 5 zeigt Locuskurven eines aufrechten Lagrange-Kreisels, dessen Bewegung beim schwarzen Pfeil beginnt. Die Locuskurven zeigen Schleifen (lila und gelb), Spitzen (hellrot und hellblau) oder Wellen (grün). Bei Lz ≈ 2,53 findet eine langsame reguläre Präzession statt (blauer Breitenkreis) und bei Lz = L3 erreicht der Kreisel den oberen Totpunkt (gelbe Schleifen). Bei zunehmendem Lz > L3 umschlingen die Schleifen den Nordpol und die Kugel immer weiter und nähern sich von Norden dem blauen Breitenkreis an, in dem dann schließlich eine schnelle reguläre Präzession stattfindet. Weitere Zunahme von Lz liefert immer größere Schleifen, die den blauen Breitenkreis von Süden und einen südlicheren Breitenkreis von Norden tangieren. Mit Lz → ∞ nähert sich der südliche tangierte Breitenkreis dem am Äquator gespiegelten blauen Breitenkreis an und die Locuskurve wird zu einem Großkreis, der diese beiden Breitenkreise tangiert.
Wenn der Drehimpuls hinreichend groß und nahe der Figurenachse ausgerichtet ist, findet auch beim aufrechten Kreisel eine pseudoreguläre Präzession statt.
Pseudoreguläre Präzession