Der Satz von Wiener ( oder ) ist ein klassischer mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Gebieten der Harmonischen Analyse und der Funktionalanalysis angesiedelt ist. Er geht auf eine Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Norbert Wiener aus dem Jahre 1932 zurück und behandelt die Frage der Reihenentwicklungsfähigkeit von Kehrwerten gewisser Fourier-Reihen.Norbert Wiener: Tauberian theorems. In: Ann. of Math., 33 (2), S. 1–100Sterling K. Berberian: Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. 1974, S. 1 ff, S. 267 ffM. A. Neumark: Normierte Algebren. 1990, S. 221Kōsaku Yosida: Functional Analysis. 1980, S. 301
Formulierung des Satzes Gemäß der Darstellung des US-amerikanischen Mathematikers Sterling K. Berberian lässt sich der Satz von Wiener folgendermaßen formulieren:Berberian, op. cit., S. 1 Der Kehrwert einer nichtverschwindenden, absolut konvergenten trigonometrischen Reihe ist stets selbst eine absolut konvergente trigonometrische Reihe. Es gilt also mit anderen Worten: Ist eine Folge von komplexen Zahlen mit
und besitzt die durch
definierte komplexwertige Funktion keine Nullstelle, so existiert eine Folge komplexer Zahlen, so dass
gilt und zugleich die mittels Kehrwertbildung entstehende Funktion in der Form
darstellbar ist.
Zu Hintergrund und Beweis Sterling K. Berberian vollzieht in seinem Lehrbuch Lectures in Functional Analysis and Operator Theory den Beweis von I. M. Gel'fand aus dem Jahre 1941 nach und hebt in diesem Zusammenhang hervor, dass dieser Beweis Gel'fands einen frühen Triumph der funktionalanalytischen Betrachtungsweise („early triumph of the functional-analytic point of view“) darstelle.Berberian, op. cit., S. 1–10 Daneben gibt es zahlreiche weitere Beweise, darunter auch einen elementaren Beweis von Donald Joseph Newman (1930–2007).D. J. Newman: A simple proof of Wiener’s 1/f theorem. In: Proc. Amer. Math. Soc., 48, S. 264–265 Der Wienersche Satz ergibt sich ebenfalls als Korollar aus weiterreichenden Sätzen der Theorie der kommutativen Banachalgebren.Berberian, op. cit., S. 267–269
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Harmonische Analyse Kategorie:Funktionalanalysis Wiener