Die Nepersche Ungleichung () ist eine Ungleichung des mathematischen Teilgebiets der Analysis, die auf den schottischen Mathematiker John Napier (1550–1617) zurückgeht. Sie liefert elementare untere und obere Abschätzungen für den reellen natürlichen Logarithmus.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics. 2006, S. 16
Darstellung der Ungleichung Die Ungleichung lautet folgendermaßen: Gegeben seien zwei reelle Zahlen und und es gelte . Dann bestehen die Ungleichungen (N) .
Herleitung der Neperschen Ungleichung mittels Differenzialrechnung Für die Steigungen der Tangenten , und der Sehne gilt: , woraus unmittelbar die Nepersche Ungleichung folgt. (siehe Figur 1)
Herleitung der Neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung Aus
folgt nach elementaren Umformungen und Stammfunktionsbildung (N') .
Also erhält man die Neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung. Denn danach ist der mittlere Term von (N') nichts weiter als der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphs der reellen Kehrwertfunktion im Intervall . (siehe Figur 2)
Grafische Darstellungen der beiden Herleitungen Die beiden Herleitungen lassen sich durch grafische Veranschaulichungen unterstützen.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 149College Mathematics Journal, vol. 24, no. 2 (March 1993), S. 165
Anwendung Eine nützliche Anwendung der Neperschen Ungleichung ergibt sich, wenn man darin sowie – für eine natürliche Zahl – noch setzt.
Dann nämlich ergibt sich wegen und
und weiter
und schließlich .
Durch Limesbildung erhält man dann
und es folgt aus Stetigkeitsgründen und durch Anwendung der Exponentialfunktion .
Verwandte Ungleichungen Die Nepersche Ungleichung lässt sich erheblich verschärfen. Dies zeigt etwa die Ungleichung von Hermite-Hadamard, welche die Nepersche Ungleichung nach sich zieht. Denn berücksichtigt man hier die Tatsache, dass die Einschränkung der reellen Umkehrfunktion auf das Intervall der positiven Zahlen eine konvexe Funktion ist, so ergeben sich für sogleich die Abschätzungen
und damit .Die vordere Ungleichung, wenn auch formuliert für die Kehrwerte, findet man in: D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 273
Für den Fall, dass insbesondere ist, hat man sogar die folgenden – und für diesen Fall besseren! – Abschätzungen:D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 273–274 .
Literatur
Guido Walz: Lexikon der Mathematik, Band 4, zweite Auflage, Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53499-1, Seite 22
Weblinks Napier-Ungleichung Lexikon der Mathematik aus Spektrum der Wissenschaft, abgerufen am 25. Januar 2023
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis Nepersche Ungleichung Nepersche Ungleichung Kategorie:John Napier