Rossby-Wellen, auch als planetarische Wellen bezeichnet, sind großräumige Wellenbewegungen im Ozean oder der Erdatmosphäre.
Das den planetaren Wellen zugrunde liegende physikalische Prinzip ist die Erhaltung der potentiellen Vortizität. Wenn ein Flüssigkeitsteilchen in der Luft oder dem Wasser an der Oberfläche einer rotierenden Kugel nicht parallel zur Rotationsachse verschoben wird, wird es durch die Coriolisbeschleunigung abgelenkt, deren Parameter von der geografischen Breite abhängt. Die sich ändernde potentielle Vortizität ruft eine rückstellende Kraft hervor, die proportional zur Verschiebung aus der Ausgangslage des Teilchens ist. Dies führt zu einer meridionalen Schwingung mit einer westwärts gerichteten Phasengeschwindigkeit.
Sydney Samuel Hough formulierte 1897 als erster die Gleichungen für die Bewegung planetarer Wellen auf einer rotierenden Kugel und diskutierte die Lösungen in sphärischen Koordinaten. Benannt werden die Wellen nach Carl-Gustaf Rossby, der für das Problem eine Näherungslösung in kartesischen Koordinaten entwickelte.
Atmosphärische Rossby-Wellen
Im Gesamtbild der planetarischen Zirkulation der Luftmassen der Erdatmosphäre sind Rossby-Wellen als mäandrierender Verlauf des Polarfrontjetstreams entlang der Luftmassengrenze zwischen der kalten Polarluft der Polarzelle und der deutlich wärmeren Luft der Ferrel-Zelle auf der Nord- und in geringerer Ausprägung auch auf der Südhalbkugel der Erde beobachtbar.
mini|hochkant=1.5|Rossby-Wellen im Jetstream: a, b: Einsetzende Wellenbildungc: Beginnende Abtrennung eines Kaltlufttropfens blau / orange: kalte / warme Luftmassen
Jetstreams entstehen infolge globaler Ausgleichsbewegungen zwischen verschiedenen Temperaturregimen beziehungsweise Hoch- und Tiefdruckgebieten. Bedingt durch unregelmäßige thermische Gefälle verläuft die Luftmassengrenze zwischen warmer Subtropen- und kalter Polarluft nicht geradlinig, sondern mäandriert. Die so entstehende wellenförmige Luftmassengrenze wird Rossby-Welle genannt und ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. Die Faltung des Polarfrontjetstreams ist in der Realität uneinheitlich und windet sich auch nicht durchgehend um die gesamte Erdhalbkugel. Ein aktuelles Bild der mäandrierenden Jetstream-Bänder ist in den Weblinks einsehbar.
Der Jetstream reißt zudem die unteren Luftschichten mit, wobei entsprechend der Verwirbelung der Rossby-Welle stets dynamische Tiefdruckgebiete (Zyklone) in Richtung Pol (im Gegenuhrzeigersinn verdreht über den 'Wellentälern', so genannte Tröge) und in Richtung Äquator Hochdruckgebiete (im Uhrzeigersinn verdreht unter den 'Wellenbergen', sogenannte Rücken) ausscheren. Diese Tiefdruckgebiete, wie beispielsweise das Islandtief, sind am mitteleuropäischen Wetter maßgeblich beteiligt, da sie durch ihre Frontensysteme zu einem charakteristischen Witterungswechsel führen.
Da diese Verwirbelungen vorwiegend durch kontinentale Hindernisse hervorgerufen werden und diese auf der Nordhalbkugel wesentlich ausgeprägter sind als in der Südhalbkugel, zeigt sich dieser Effekt und damit auch die Rossby-Wellen auf der Nordhalbkugel wesentlich stärker.
„Ein subtiler Resonanzmechanismus, der Wellen in den mittleren Breiten festhält und sie deutlich verstärkt,“Mehr Wetterextreme durch Aufschaukeln riesiger Wellen in der Atmosphäre. Potsdam-Institut für Klimafolgenforschung, Pressemitteilung vom 11. August 2014 wurde 2014 als Ursache unter anderem für die seit der Jahrtausendwende gestiegene Anzahl der Wetterextreme im Sommer – wie etwa die Rekord-Hitzewelle 2010 in Osteuropa, die mit Ernteeinbußen und verheerenden Waldbränden um Moskau einherging – in Verbindung gebracht.Dim Coumou et al.: Quasi-resonant circulation regimes and hemispheric synchronization of extreme weather in boreal summer. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 111, Nr. 34, 2014, S. 12331–12336, doi:10.1073/pnas.1412797111
Ozeanische Rossby-Wellen Rossby-Wellen spielen für die subinertiale Dynamik des Ozeans eine wichtige Rolle. Sie ermöglichen eine stationäre windgetriebene Ozeanzirkulation und prägen ihre Form in charakteristischer Weise, sie beeinflussen die Eigenschaften von mesoskaligen Wirbeln im Ozean und spielen eine wichtige Rolle bei der Ausbreitung von Ozean-Klima-Signalen, beispielsweise bei den ENSO-Ereignissen (El Niño-Southern Oscillation).
Sie werden im Inneren der Ozeanbecken durch räumliche Variationen des Oberflächenwindes und durch Luftdruck-Schwankungen an der Meeresoberfläche angeregt oder von den meridonal verlaufenden Küsten als Reaktion auf zeitliche Schwankungen der Wind- und Luftdruckfelder abgestrahlt. Lange Rossby-Wellen werden von östlichen Ufern und kurze Rossby-Wellen von westlichen Ufern abgestrahlt. Durch ihre Laufzeit durch das Ozeanbecken von Ost nach West bestimmen sie die charakteristische Reaktionszeit für die Einstellung einer stationären Ozeanzirkulation nach zeitlichen Änderungen des antreibenden Windmusters.
Obwohl Rossby-Wellen schon vor mehr als 100 Jahren theoretisch vorhergesagt wurden, gelang es erst Ende des 20. Jahrhunderts, ihre Existenz mittels herkömmlicher ozeanographischer Beobachtungsmethoden im Inneren der Wassersäule und mittels Satellitenaltimetrie an der Meeresoberfläche in jedem Ozean und auf allen Breiten zu bestätigen.
Mathematische Beschreibung
Rossby-Wellen sind subinertiale Bewegungen, die sich nach der geostrophischen Anpassung auf einer rotierenden Kugel in einem quasigeostrophischen Gleichgewicht befinden. Ihre Besonderheit besteht darin, dass durch die räumliche Ausdehnung des dazugehörenden Druckmusters und die räumliche Änderung des Coriolisparameters die Divergenz der quasi-geostrophischen Strömung nicht exakt verschwindet. Dies hat eine langsame zeitliche Änderung des Druckfeldes in Form einer Rossby-Welle zur Folge.
Wir betrachten die Eigenschaften der linearen Rossby-Welle in einem unendlich ausgedehnten, reibungsfreien Ozean mit einem ebenen Boden in der Tiefe auf der mit der Winkelgeschwindigkeit rotierenden Erde.B. Gill (1982)
Die vertikal gemittelten Gleichungen für die horizontalen Geschwindigkeitskomponenten der hydrostatischen Flüssigkeit lauten
,
.
In den Gleichungen sind:
: die Zeit : die Koordinaten eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit dem Nullpunkt im Meeresspiegel auf der geographischen Referenzbreite , z. B. positiv nach Osten, positiv nach Norden und positiv entgegen der Schwerkraft gerichtet. : die horizontalen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors in Richtung der x- und y-Achse. : die Auslenkung der Meeresoberfläche aus der Ruhelage. , der Coriolisparameter.
Um die räumliche Änderung des Coriolisparameters zu berücksichtigen, muss er bei Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems in eine Taylorreihe um die Bezugsbreite entwickelt werden, die nach dem linearen Glied abgebrochen wird
.
Hier ist der Radius der Kugel und der Betaparameter, der gleich dem meridionalen Gradienten des Coriolisparameters in der Bezugsbreite ist. Bei den folgenden Ableitungen wird immer die lineare Abhängigkeit des Coriolisparameters von der y-Koordinate zugrunde gelegt.
Für die Kontinuitätsgleichung der als inkompressibel angesehenen Flüssigkeit erhalten wir
,
Um eine Gleichung für die Auslenkung der Meeresoberfläche zu erhalten, wird die Divergenz der horizontalen Komponenten des Impulses unter Berücksichtigung der meridionalen Variation von gebildet und die Kontinuitätsgleichung eingesetzt
,
wobei die Phasengeschwindigkeit einer langen Welle auf der nichtrotierenden Erde ist und
,
die vertikale Komponente der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes.
Im Falle einer rotierenden Flüssigkeit weist die obige Gleichung darauf hin, die Änderung der Rotation des horizontalen Geschwindigkeitsfeldes zu berücksichtigen. Zu diesem Zweck bilden wir die Rotation der Impulsgleichungen woraus sich die Gleichung für die zeitliche Änderung der vertikalen Komponente der Rotation der Geschwindigkeit, nämlich
,
ergibt. Das bedeutet, dass die zeitliche Änderung von auf der rotierenden Erde gleich der negativen Divergenz der horizontalen Bewegung, erweitert durch einen Anteil proportional zur südwärtigen Bewegung ist. Benutzt man die Kontinuitätsgleichung zur Elimination der horizontalen Divergenz, so ergibt sich
.
Diese Gleichung ist die linearisierte Form der Gleichung für die Erhaltung der potentiellen Vortizität einer homogenen Flüssigkeit auf einer sich drehenden Kugel. Sie kann auf die folgende verallgemeinerte Form gebracht werden
Sie bringt zum Ausdruck, dass die potentielle Vortizität ihren Anfangswert an jedem Punkt zu allen Zeiten behält. Die linearisierte Form der Erhaltung der linearen Vortizität erhält man, wenn und angenommen wird. Während die erste Annahme fast überall im Ozean gilt, ist die zweite Annahme nur dann gültig, wenn und somit ist, d. h. die geostrophische Geschwindigkeit klein gegen die Phasengeschwindigkeit der langen Welle auf der nicht rotierenden Erde ist. Dies ist für barotrope Rossby-Wellen sicherlich immer der Fall, jedoch nicht für barokline Rossby-Wellen im Bereich von Westrandströmen, wie z. B. dem Golfstrom.
Leitet man die Gleichung für die Auslenkung der Meeresoberfläche noch einmal nach der Zeit ab, ergibt sich
.
Wir betrachten jetzt subinertiale Bewegungen, die unter Abstrahlung von Poincaré-Wellen geostrophisch angepasst sind. Durch die folgenden Vernachlässigungen werden die Poincaré-Wellen aus den Bewegungsgleichungen für die Flüssigkeit des Ozeans herausgefiltert. Es gelten dann die folgende Näherungen:
,
O{u} = O{v}.
Damit erhalten wir eine Gleichung für die Auslenkung der Meeresoberfläche durch subinertiale Bewegungen auf der rotierenden Erde, nämlich durch Rossby-Wellen,
.
Die Dispersionsbeziehung der Rossby-Wellen
Nimmt man eine Auslenkung der Meeresoberfläche in Form einer horizontal propagierenden Welle
an und setzt diese Form in die Bewegungsgleichung für die Rossby-Welle ein, so ergibt sich die Dispersionsbeziehung für die Rossby-Welle zu
Es gibt einen barotropen und ein ganzzahliges Vielfaches an baroklinen Rossby-Radien , die durch die jeweiligen Phasengeschwindigkeiten der entsprechenden langen Welle auf der nichtrotierenden Erde und den Coriolisparameter gegeben sind. Für die Ozeane ist der barotrope Rossby-Radius in der Größenordnung von 2000 km. Aktuelle Karten der globalen Verteilung des ersten baroklinen Rossby-Radius findet man bei Chelton et al. (1998); ist einige 10 km in mittleren Breiten. Der barotrope Modus der Rossby-Welle breitet sich viele Meter pro Sekunde aus, so dass er ein typisches Ozeanbecken in wenigen Wochen durchquert. Jedoch die langsameren baroklinen Modi sind für die Dynamik des Ozeans wichtig. Sie breiten sich mit Geschwindigkeiten in der Größenordnung von 1 – 10 cm/s und brauchen entsprechen längere Zeit (Jahre) um ein Ozeanbecken zu durchqueren.
Die Partikelgeschwindigkeit in Rossby-Wellen
Das mit der Rossby-Welle verbundene Geschwindigkeitsfeld ergibt sich in guter Näherung aus den quasigeostrophischen Gleichungen
und
.
Auf Grund der geostrophischen Anpassung der Rossby-Wellen ist die Strömung parallel zu den Wellenkämmen und -Tälern gerichtet. Die kleinen ageostrophischen Anteile der Partikelgeschwindigkeiten der Rossby-Wellen ergeben sich aus der Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters derart, dass die Geschwindigkeiten äquatorwärts höher als polwärts sind. Dies führt zu einer Konvergenz westlich eines Hochdruckrückens und somit zu einem dortigen Druckanstieg mit der Folge einer westwärtigen Verlagerung des Wellenmusters.
Die planetare Divergenz der Rossby-Wellen
Berechnen wir die Divergenz für eine geostrophisch angepasste Flüssigkeit auf einer rotierenden Kugel und setzten das Ergebnis in die Kontinuitätsgleichung ein, so erhalten wir für die Kontinuitätsgleichung
.