Euler-Kreisel

mini|Abb. 1: Realisierung eines Euler-Kreisels

Der kräftefreie Kreisel ist in der Kreiseltheorie ein Kreisel, auf den keine äußeren Kräfte wirken. Die Bewegungsgleichungen konnte erstmals Leonhard Euler 1758 lösenEuler (1758), S. 173 und 190., zu dessen Ehren der Kreisel auch Euler-Kreisel genannt wird.

Die bestimmenden Gleichungen sind die Euler-Poisson-Gleichungen, deren Lösungen nur hier, beim Lagrange-Kreisel und dem Kowalewskaja-Kreisel bei beliebigen Anfangsbedingungen eindeutige Funktionen der Zeit und mit algebraischen Integralen ableitbar sind.Leimanis (1965), S. 53 ff.

Die Winkelgeschwindigkeiten lassen sich mit den Jacobi’schen elliptischen Funktionen ausdrücken, die beim symmetrischen Kreisel in den Sinus und Kosinus übergehen. Hier zeigt der Kreisel besonders regelmäßiges und anschauliches Verhalten, siehe #Beschreibung der Bewegung. Die Poinsotsche Konstruktion führt die Bewegung auf das Abrollen des Energieellipsoids auf einer Ebene zurück.

Außer in der Schwerelosigkeit kann ein kräftefreier Kreisel in einem Schwerefeld realisiert werden, indem er in seinem Schwerpunkt drehbar, beispielsweise wie in Abb. 1 kardanisch aufgehängt wird. Der eulersche Kreisel findet z. B. in Kreiselkompassen und gyroskopischen Steuersystemen technische Anwendung.

Bezeichnungen

Die Bewegungen des kräftefreien Kreisels heißen in der Kreiseltechnik NutationMagnus (1971), S. 100. Die azimutale Drehung wird auch Präzession genanntArnold (1989), S. 154. Weitere Bezeichnungen sind in den Hauptartikeln aufgeführt.

Allgemeine Eigenschaften der Bewegung kräftefreier Kreisel Kreiselgleichungen

Die Bewegungsfunktion des Kreisels bestimmt sich mit den von Leonhard Euler aufgestellten Kreiselgleichungen, die, wenn der Massenmittelpunkt im Stützpunkt liegt, inhaltsgleich zu den Euler-Poisson-Gleichungen für den schweren Kreisel sind. Die Gleichungen beziehen sich auf das mit dem Körper rotierende Hauptachsensystem und bilden das autonome gewöhnliche Differentialgleichungs­system

Darin sind jeweils für k=1,2,3

Θk die Hauptträgheitsmomente, Lk = Θkωk die Drehimpulse und ωk die Winkelgeschwindigkeiten

im Hauptachsensystem. Der Überpunkt bildet die Zeitableitung.

Auf der linken Seite steht die Kreiselwirkung der Euler-Kräfte und auf der rechten Seite diejenige der Fliehkräfte, siehe Drallsatz am Starren Körper. Die Euler-Kräfte sind Ausdruck von Winkelbeschleunigungen, die hier von den Fliehkräften im Kreisel hervor gerufen werden. Umgekehrt führen die Winkelbeschleunigungen zur Änderung der Drehachse und Drehgeschwindigkeit, was die Fliehkräfte beeinflusst. Folge dieses dynamischen Wechselspiels ist die Nutation des kräftefreien Kreisels.

Integrale der Bewegung Die Drehbewegung eines kräftefreien Kreisels unterliegt neben den Kreiselgleichungen noch zwei Bedingungen.

Zum einen erzwingt die Drehimpulserhaltung im raumfesten xyz-System, dass alle drei Drehimpulskomponenten von

im kräftefreien Fall konstant sind. Als zweite Bedingung bleibt die Rotationsenergie Erot gemäß dem Energieerhaltungssatz erhalten.

Im lokalen körperfesten Hauptachsensystem heißt das:

Die Erhaltung von Lx,y,z, L² und Erot ist im Einklang mit obigen Kreiselgleichungen, was durch Zeitableitung der Konstanten und Einsetzen der Kreiselgleichungen und der Euler-Winkel der Kreiseltheorie nachgewiesen werden kann. Die Konstanten der Bewegung werden in der Kreiseltheorie Integrale genannt.Arnold (1989), S. 142, Magnus (1971), S. 53, Leimanis (1965), S. 10.

Obige Gleichungen definieren Ellipsoide. Die mit den Winkelgeschwindigkeiten ausgedrückten Gleichungsteile stellen in der oberen Gleichung das Drallellipsoid und in der unteren das Energieellipsoid dar. Die mit dem Drehimpuls ausgedrückten Flächen sind in der oberen Gleichung die Drallkugel und in der unteren das MacCullagh-Ellipsoid. Die Winkelgeschwindigkeiten und Drehimpulse sind jeweils Teil beider Flächen.

Die Drallkugel und das MacCullagh-Ellipsoid haben nur dann gemeinsame Punkte, wenn die Schranken für Drehimpuls und Rotationsenergie eingehalten werdenArnold (1989), S. 151.. Multiplikation von 2Erot mit -L² und L² mit 2Erot und Addition liefert:

Die Gleichung für den Polkegel, der aus den Punkten besteht, für die ist, ergibt sich hieraus zuLeimanis (1965), S. 11.:

Beim unsymmetrischen Euler-Kreisel stellt das einen Ellipsenkegel und beim symmetrischen einen Kreiskegel dar, siehe #Beschreibung der Bewegung.

MacCullaghs Deutung der Kreiselbewegung mini|Abb. 3: MacCullagh-Ellipsoid (gelb), Drallkugel (grün), Drallpolkurven (rot) und Tangentialebene (grau) treffen sich im Drehimpuls . Die aktuelle Winkelgeschwindigkeit ist senkrecht zur Tangentialebene.

Von James MacCullagh stammt eine geometrische Deutung der Kreiselbewegung, die wie die Poinsot’sche Konstruktion anschaulich aber nicht so fruchtbar ist wie letztere. Der Drehimpuls ist im raumfesten System konstant, bildet die invariable Gerade durch den Stützpunkt und berührt jederzeit das MacCullagh-Ellipsoid, das im körperfesten System aus den Endpunkten aller Drehimpulse besteht, die zur aktuellen Rotationsenergie führen, siehe Abb. 3. Das MacCullagh-Ellipsoid bewegt sich mit dem Kreisel derart, dass der Drehimpuls gleichzeitig auf dem Ellipsoid und der Drallkugel ist, wobei die rot gezeichneten Drallpolkurven entstehen. Die Punkte auf den Drallpolkurven haben somit alle denselben Abstand zum Stützpunkt. Das Lot des Stützpunkts auf die Tangentialebene an das MacCullagh-Ellipsoid im Endpunkt des Drehimpulses ist parallel zur aktuellen Winkelgeschwindigkeit. Besagte Tangentialebene ist, anders als die invariable Ebene der Poinsot’schen Konstruktion, nicht raumfest.

Das Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls ist umgekehrt gleich der Kreiselwirkung der Fliehkräfte, der genau entgegengesetzt die Kreiselwirkung der Euler-Kräfte ist, die Ausdruck von Änderungen der Drehgeschwindigkeit und -achse, also der Ausrichtung des MacCullagh-Ellipsoids, sind, siehe auch #Kreiselgleichungen.

Stabilitätsbetrachtungen mini|Abb. 4: Trägerkurven der Lösungen der Kreiselgleichungen auf der Drallkugel.

In Abb. 4 ist die Drallkugel und zu verschiedenen Rotationsenergien gehörende Drallpolkurven aus drei Richtungen gesehen gezeichnet. Die Drallpolkurven sind geschlossene Kurven (rot und blau im Bild), die Kreis-, Ellipsen- oder Taco-förmig sein können und wie das MacCullagh-Ellipsoid symmetrisch zu den von den Hauptachsen aufgespannten Ebenen sind. Auf den blauen Kurven finden perizykloidische Bewegungen statt während auf den roten Kurven die Bewegung epizykloidisch genannt wird, siehe Poinsot’sche Konstruktion. Dazwischen befindet sich die Separatrix, die diese beiden Bewegungsformen voneinander trennt.

Liegt der Drehimpuls in der Nähe der Hauptträgheitsachse mit dem größten oder dem kleinsten Trägheitsmoment (blaue bzw. rote Punkte in Abb. 4), dann verbleibt er auch in dessen Nähe, denn diese Punkte werden von den Drallpolkurven umringt. Deshalb sind diese Drehachsen stabile Drehachsen freier Drehungen. Ihre Schnittpunkte mit der Drallkugel sind elliptische Fixpunkte einer autonomen Differentialgleichung.

Aus den Achsverhältnissen der Ellipsen kann ein Maß für die Stabilität der Drehachsen abgeleitet werden, siehe Stabilitätsbetrachtungen bei der Poinsot’schen Konstruktion.

Liegt der Drehimpuls genau auf der 2-Achse (schwarzer Punkt), dann verbleibt er dort, andernfalls entfernt er sich vom Schnittpunkt, denn dieser wird nicht von den Drallpolkurven umkreist. Die 2-Achse ist eine instabile Drehachse, sie trifft das MacCullagh-Ellipsoid in einem hyperbolischen Fixpunkt oder Sattelpunkt der zugehörigen autonomen Differentialgleichung (siehe auch #Stabilität der Bewegung unsymmetrischer Kreisel weiter unten). Die Bewegung auf der Separatrix ist instabil, denn bei der kleinsten Störung wird die Bahn epi- oder perizykloidisch.

Wenn die Hauptträgheitsmomente Θ1,2 übereinstimmen, womit der Kreisel ein symmetrischer Kreisel wird, dann ist das MacCullagh-Ellipsoid ein Rotationsellipsoid um die 3-Achse, die Separatrix wird zu einem Großkreis in der 1-2-Ebene und die Drallpolkurven sind Kleinkreise parallel zu dieser. Die Drehung um die Figurenachse (Symmetrieachse 3) ist jedenfalls stabil, denn die Drallpolkurven umringen als Kleinkreise diese Achse. Die zur Figurenachse senkrechten, äquatorialen Hauptachsen weisen komplexes Stabilitätsverhalten auf:

Bezüglich der Winkelgeschwindigkeiten und des Neigungswinkels ϑ sind Drehungen um eine äquatoriale Achse stabil, Bezüglich der Winkel ψ und φ und den Winkelgeschwindigkeiten ω1,2 sind Drehungen um eine äquatoriale Achse instabil.

Denn bei Störung der Drehung um die 1-Achse mittels einer kleinen Winkelgeschwindigkeit um die 3-Achse wird die Drallpolkurve zu einem Kleinkreis um die 3-Achse und die Drehachse umläuft parallel zur 1-2-Ebene die Figurenachse. Sie bleibt also nicht in der Nähe der 1-Achse was Instabilität von ω1 bezüglich Störung von ω3 bedeutet. Eine kleine Störung der axialen Winkelgeschwindigkeit ω3 oder des Neigungswinkels ϑ führt jedoch zu einer klein bleibenden Veränderung. In gleicher Weise werden die anderen Größen auf Stabilität gegenüber Störungen untersuchtMagnus (1971), S. 82..

Zur Stabilität des Kugelkreisels, siehe dort.

Die Bewegungen des Drehimpulses im lokalen Bezugssystem Der Drehimpuls durchwandert die in Abb. 3 und Abb. 4 gezeichneten Drallpolkurven ohne jemals stillzustehen oder gar die Umlaufrichtung zu wechseln. Denn abseits der Hauptträgheitsachsen verschwindet höchstens eine Komponente des Drehimpulses und daher können die lokalen Geschwindigkeiten den Kreiselgleichungen zufolge nicht alle drei auf einmal null sein.

Mangels äußerer Einwirkungen macht der kräfefreie Kreisel keine Sprünge. Die lokalen Komponenten des Drehimpulses sind somit Lipschitz-stetig und daher können sich die Trajektorien des Drehimpulses nach dem Satz von Picard-Lindelöf nicht schneiden. Diese Bedingung ist auf der Separatrix verletzt (in Abb. 4 schwarz gestrichelt). Auf ihr bildet sich daher eine aperiodische Bewegung aus, denn der Drehimpuls kann die Schnittpunkte auf der 2-Achse nicht überschreiten. Die Hauptträgheitsachse mit dem mittleren Hauptträgheitsmoment nähert sich auf einer Loxodrome asymptotisch der vom Drehimpuls gegebenen Achse, siehe #Bewegung auf der Separatrix unten.

Wenn die Rotationsenergie abnimmt, beispielsweise durch Dissipation, wird die Drehachse in Richtung der Achse mit dem größten Trägheitsmoment wandern, was in Abb. 4 die 3-Achse ist, denn dort berührt das MacCullagh-Ellipsoid mit der kleinsten Energie die Drallkugel.

Kräftefreier symmetrischer Kreisel Beim symmetrischen Kreisel sind per definitionem zwei der drei Hauptträgheitsmomente gleich. Die Bewegung ist eine regelmäßige und anschauliche Reguläre Präzession. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird hier von Θ1=Θ2=:Θ0 und Drehung um die 3-Achse – der Figurenachse – ausgegangen.

Beschreibung der Bewegung Beim symmetrischen Kreisel vereinfacht sich die dritte Kreiselgleichung im kräftefreien Fall zu , sodass die Winkelgeschwindigkeit ω3 und somit auch der Drehimpuls L3 konstant sind. Die zwei anderen Kreiselgleichungen bilden das lineare gewöhnliche Differentialgleichungssystem

mit konstantem Koeffizient . Zeitableitung der Gleichungen führt auf zwei entkoppelte Differentialgleichungen , deren allgemeine Lösung wie folgt darstellbar ist:

Die Werte ω1,2(0) sind Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0 und werden durch eine 2 × 2 Drehmatrix auf die aktuellen Werte abgebildet. Falls ω3(0) = 0 und/oder ω1(0) = ω2(0) = 0 gilt, so bleiben ω1 und ω2 konstant und der Kreisel führt eine konstante Drehbewegung aus oder bleibt im Spezialfall ω1,2,3(0) = 0 in Ruhe.

mini|Abb. 5: Bewegungskomponenten beim kräftefreien Kreisel (β=ϑ)