Kreiseltheorie

mini|Abb. 1: Reguläre Präzession eines symmetrischen Kreisels

Die Kreiseltheorie beschäftigt sich mit rotierenden Körpern, bei denen Verschiebungen im Raum und Formänderungen von untergeordneter Bedeutung sind.Grammel (1920), S. 2, Grammel (1950), S. 3.

Körper, auf die diese Beschreibung zutrifft, werden in der Theorie zusammenfassend als Kreisel bezeichnet und beinhalten so verschiedene Objekte wie Stehaufkreisel, Langgeschosse oder die Erde. Die Kreiselbewegungen sind für Mathematik, Physik und Ingenieurwesen – somit für Theorie und Praxis – gleichermaßen interessant. Ziel der Theorie ist es, Anwendungen wie die unten aufgeführten auf eine sichere Grundlage zu stellen.Grammel (1920), S. V, Grammel (1950), S. III, Magnus (1971), S. 1.

Leonhard Euler begründete 1750 die (analytische) Kreiseltheorie, indem er die heute nach ihm benannten Kreiselgleichungen aufstellte. Die Kreiselgleichungen sind das Pendant zu Newton’s zweitem Gesetz Kraft gleich Masse mal Beschleunigung für rotierende Starrkörper und vergleichbar fundamental für die Physik.

Die klassische Kreiseltheorie ist fast ausschließlich dem schweren Kreisel gewidmet, der sich, wie die Animation wiedergibt, mit seinem Beharrungsvermögen in eigentümlicher Weise dem Umfallen aufgrund seiner Schwere widersetzt.Grammel (1920), S. 3. Bis Anfang des 21. Jahrhunderts sind nur in wenigen Fällen analytisch darstellbare Bewegungen gefunden worden und die Frage nach der Lösbarkeit der Kreiselgleichungen in der großen Mehrheit der Kreiselbewegungen bleibt offen. Die moderne Kreiseltheorie widmet sich den allgemeinen Eigenschaften des dynamischen Systems.Gashenenko und Richter (2003), S. 2527, 2532. Bei realen Kreiselphänomenen sind Reibeffekte wesentlich, mit denen sich beispielsweise das Aufrichten des Spielkreisels erklärt.

Anwendungen findet die Kreiseltheorie in der Eisenbahntechnik (Sinuslauf), der Drallstabilisierung von Schiffen (Schiffskreisel), Raumflugkörpern und Trägheitsnavigationssystemen sowie in der Astronomie und Ballistik.

Geschichte Die wissenschaftliche Behandlung von Kreiseln begann mit J. A. Segner (1704 – 1777), der auch schon die Bedeutung der Reibung für das Aufrichten der Kreiselachse richtig erkannte. Leonhard Euler entwickelte 1736 eine Theorie der Präzession und 1750 die Kreiselgleichungen, die er 1758 für den kräftefreien Euler-Kreisel lösen oder zumindest auf elliptische Integrale zurückführen konnte. Von nun an war es möglich, Erkenntnisse aus Lösungen der Gleichungen abzuleiten, was sich allerdings als äußerst hartnäckiges „Kreiselproblem“ herausstellte.

Anders als bei Newton’s zweitem Gesetz, das spektakuläre Erfolge in der Himmelsmechanik feierte, gelang eine Lösung der Kreiselgleichungen nur beim Euler-Kreisel und erst 38 Jahre später (1788) beim schweren symmetrischen Kreisel mit Fixpunkt durch Joseph-Louis Lagrange. Carl Gustav Jacob Jacobi veröffentlichte 1829 die Theorie der elliptischen und der Theta-Funktionen, mit denen sich die Kreiselgleichungen lösen lassen. Das hat Jacobi am Euler-Kreisel demonstriert und er empfahl 1849 mehrfach, das Problem mit diesen Funktionen anzugehen.Tuschmann und Hawig (1993), S. 123. Zwischenzeitlich (1834) trug Louis Poinsot seine anschauliche geometrische Deutung der Kreiselbewegungen bei und veröffentlichte Siméon Denis Poisson seine kinematischen Gleichungen (1838).

Trotz des vielversprechenden Ansatzes mit Theta-Funktionen und Preisausschreiben der preußischen und russischen Akademie der Wissenschaften in den 1850er Jahren erwies sich die „mathematische Nixe“, wie das Kreiselproblem in Deutschland mittlerweile aufgrund der Ästhetik des Gegenstands und der Grundgleichungen sowie seiner mathematischen Unnahbarkeit tituliert wurde, als äußerst unzugänglich.Tuschmann und Hawig (1993), S. 123., Audin (2008), S. 91. Sofia Kowalewskaja entdeckte 1888 den letzten durch Theta-Funktionen lösbaren Fall, den schweren, symmetrischen, inhomogenen Kowalewskaja-Kreisel, womit die analytische Kreiseltheorie zu einem gewissen Abschluss kam.Tuschmann und Hawig (1993), S. 119. So sind die Standardwerke von Klein und Sommerfeld (entstanden 1896–1910), Richard Grammel (1920, 1950) oder Kurt Magnus (1971) noch zu Beginn des 21. Jahrhunderts benutzbar. Ein Beleg dafür ist, dass ersteres Werk noch 100 Jahre nach seinem Erscheinen ins Englische übersetzt wurde.

A. M. Ljapunow bewies 1894, dass die drei Fälle von Euler, Lagrange und Kowalewskaja die einzigen sind, in denen die Lösung der Bewegungsgleichungen bei beliebigen Anfangsbedingungen eine eindeutige Funktion der Zeit ist, und É. Husson zeigte 1905, dass diese Kreisel auch die einzigen durch algebraische #Integrale der Bewegung lösbaren Fälle sind.Leimanis (1965), S. 53 ff. Um 1900 haben Mathematiker einige integrierbare Spezialfälle gefunden,Magnus (1971), S. 129. aber die Frage nach der Lösbarkeit der großen Mehrheit der Kreiselbewegungen bleibt bis ins 21. Jahrhundert hinein offen.Gashenenko und Richter (2003), S. 2525.

Wenngleich sich die klassische Kreiseltheorie überwiegend mit dem starren Körper mit Fixpunkt befasste, so wurden doch auch kreiselähnliche Erscheinungen an rotierenden Ketten, verformbaren Körpern – insbesondere der Erde – oder Flüssigkeiten untersucht. Durch die Raumfahrt kamen neue Problemstellungen hinzu, wie beispielsweise die Selbsterregung (im körperfesten System aufgebrachte Momente) zwecks Stabilisierung und Lageregelung, siehe Stabilisierung (Raumfahrt), die Bewegungen von Körpern mit veränderlichen Massen, die Bewegungen starrer Körper mit Flüssigkeitsfüllung, die Drehbewegungen in einem zentralen Schwerefeld oder die Beeinflussung von Translations- und Rotationsbewegungen.

Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten sich die Computerhard- und -software und mit ihnen die numerische Simulation soweit, dass mit ihrer Hilfe die Bewegungsgleichungen bei beliebigen Anfangsbedingungen und jeder gewünschten Genauigkeit berechnet werden können. Die analytischen Lösungen verloren nun die früher berechtigte, zentrale Bedeutung und die Theorie wandte sich den nicht integrablen Fällen zu. Analytische und geometrische Methoden zu ihrer Untersuchung entstanden, die auch immer wieder durch den Kowalewskaja-Kreisel motiviert waren, der die Wissenschaft das gesamte 20. Jahrhundert hindurch beschäftigte. Die Untersuchungsmethoden der integrablen Fälle wurden zu Beginn des 21. Jahrhunderts auf die nicht-integrablen dynamischen Systeme übertragen.Gashenenko und Richter (2003), S. 2532 f.

Eigenschaften der Kreisel und ihrer Bewegungen Die Kreiseltheorie versteht unter einem Kreisel einen beliebig gestalteten starren Körper, der Drehbewegungen ausführt. Dieses idealisierende Modell für wirkliche Kreisel ermöglicht deren Verhalten mit einfacheren mathematischen Hilfsmitteln zu erfassen.Magnus (1971), S. 1. Die klassische Kreiseltheorie konzentrierte sich auf den schweren Kreisel, der in einem Inertialsystem in einem seiner Punkte derart festgehalten wird, dass er sich um diesen Punkt noch irgendwie drehen kann.Grammel (1920), S. 3, Grammel (1950), S. 2, Tuschmann und Hawig (1993), S. 121. Diese Forderung stellt nur eine kleine Einschränkung dar, denn jede Starrkörperbewegung lässt sich in Rotation und Translation zerlegen, und sofern letztere (näherungsweise) gleichförmig ist, spielt sie für die Kreiselbewegung keine Rolle. Durch die Fixierung in einem Punkt fallen die drei Verschiebungs­freiheitsgrade weg und verbleiben nur die drei Drehfreiheitsgrade des Kreisels, siehe #Bezugssysteme und Euler-Winkel.

Die Geschwindigkeit der Drehbewegung ist in der Kreiseltheorie unwesentlich. Der relativ langsam umlaufende „Erdkreisel“ unterliegt den Kreiselgesetzen genauso wie ein mit 60.000/min rotierender technischer Kreisel, allerdings vereinfachen sich die Gesetzmäßigkeiten bei diesen sogenannten schnellen Kreiseln außerordentlich.Magnus (1971), S. 2f.

mini|Abb. 2: Bewegungsform eines symmetrischen, prolaten, kräftefreien Kreisels Die Bewegungen des kräftefreien Kreisels werden in der Kreiseltheorie Nutation genannt und die fremderregten Präzession.Magnus (1971), S. 119 Allerdings sind diese Bezeichnungen nicht einheitlich. Arnold beispielsweise nennt die periodische Änderung der Neigung der Figurenachse gegenüber der Lotlinie beim Lagrange-Kreisel Nutation und die azimutale Drehung Präzession.

Die Drehachse eines Kreisels ist nicht körperfest, sie kann sich also relativ zum Kreisel bewegen und überstreicht dabei den körperfesten Gangpolkegel oder kurz Polkegel. Gleichzeitig bewegt sich die Drehachse auch im Raum und erzeugt dadurch eine Fläche, den Rastpol- oder Spurkegel. Die Leitkurve der Kegel ist der Endpunkt des Winkelgeschwindigkeitsvektors, der teils chaotisch schwankt, nur selten einen Zustand zweimal einnimmt und beliebig geformte Spurkegel und Polkegel erzeugt. Hat der Kreisel einen Fixpunkt, dann befinden sich die Spitzen der Kegel in diesem Fixpunkt, und die Bewegung des Kreisels kann als ein schlupfloses Abrollen des körperfesten Polkegels auf dem raumfesten Spurkegel gedeutet werden.Magnus (1971), S. 27. Bei der regulären Präzession wie beim symmetrischen Euler-Kreisel sind die Kegel Kreiskegel und die Bewegung durch die Kegel besonders anschaulich, siehe Abbildung 2 zur Bewegungsform.

mini|links|Abb. 3: Waagerecht im Kreis (entlang der roten Ellipse R) präzedierendes Speichenrad (fett schwarz) Der kräftefreie Kreisel befolgt mangels äußerer Einwirkungen den Energieerhaltungssatz. Solche Erhaltungsgrößen sind in der Kreiseltheorie von großem Interesse und werden #Integrale der Bewegung genannt. Dem Spielkreisel nahe verwandt ist der Lagrange-Kreisel, an dem paradoxe Kreiselerscheinungen auffallen: die Präzession mit horizontaler Figurenachse, siehe Abbildung 3 zum Speichenrad, und das Aufrichten des Kreisels entgegen der Schwerkraft, wie beim Stehaufkreisel. Beim Kowalewskaja-Kreisel sind die Bewegungsfunktionen mathematisch anspruchsvoll und fast alle seine Bewegungen ändern ihr Stabilitätsverhalten, wenn sie schneller oder langsamer erfolgen. Der deutsche Mathematiker Wilhelm Hess entdeckte 1890 das loxodromische Pendel, dessen Schwerpunkt sich wie bei einem sphärischen Pendel unter kreiselspezifischer Schwerebeschleunigung bewegt, siehe Abbildung 4 zum Hess’schen Pendel.

mini|Abb. 4: Simulierte Bewegung eines Hess’schen Pendels mit Schwerpunktsachse und Drehimpulsebene (schwarz), Hauptachsen (blau), Drehimpuls (rot) und Winkelgeschwindigkeit (grün) Jeder Kreisel kann permanente Staude-Drehungen um eine körperfeste lotrechte Achse ausführen. Ebenfalls sind pseudoreguläre Präzessionen möglich, wenn der Drehimpuls groß und nahe einer Symmetrieachse ausgerichtet ist. Die Bewegung gleicht der regulären Präzession, bei der der Kreisel wie in Abb. 1 um eine raumfeste und eine andere körperfeste Achse gleichmäßig rotiert und die beiden Achsen einen gleichbleibenden Winkel einschließen. Bei der pseudoregulären Präzession treten jedoch mit dem Auge kaum wahrnehmbare, kleine, überlagernde, zykloiden­ähnliche Oszillationen der Drehachse auf, die nach einem der Astronomie entlehnten Wort ebenfalls Nutationen genannt werden.Kuypers (2016), S. 215 Eine Zusammenstellung einiger Fälle, in denen bis Anfang des 21. Jahrhunderts exakte Lösungen der Bewegungsgleichungen gelungen sind, finden sich bei den Euler-Poisson-Gleichungen.Magnus (1971), S. 108.

Die Energiefläche, auf der die Winkelgeschwindigkeit entlangfährt, kann bei allen Kreiseln analytisch beschrieben werden und es zeigt sich, dass die Fläche in instabilen relativen Gleichgewichten verzweigen kann, beispielsweise wenn der senkrecht stehende Kreisel instabil ist. In solchen Verzweigungspunkten ändert die Energiefläche ihre Eigenschaften (Topologie), was analytisch darstellbar und kreiseltheoretisch von Interesse ist.

Drehimpuls und Drehträgheit