Das Umtauschparadoxon (oder Briefumschlagparadoxon) beschreibt eine spezielle mathematische Situation, bei der das naive Rechnen mit Erwartungswerten, insbesondere die Anwendung des Indifferenzprinzips, zu einem Widerspruch zum gesunden Menschenverstand führt. Es hat Ähnlichkeit mit dem Zwei-Zettel-Spiel und dem Ziegenproblem, dieses hat jedoch einen anderen wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund.
Geschichte Das Umtauschparadoxon lässt sich zumindest bis 1953 zurückverfolgen und wurde damals in einem Buch des belgischen Mathematikers Maurice Kraitchik sinngemäß folgendermaßen formuliert:
Martin Gardner verbreitete das Rätsel 1982 in seinem Buch Aha! Gotcha, ebenfalls in der Gestalt eines Geldbörsenspiels.Martin Gardner: Aha! Gotcha. 1982 Die heutige Form mit den beiden Briefumschlägen wurde 1989 von Barry Nalebuff formuliert.Barry Nalebuff: Puzzles: the other person’s envelope is always greener. In: Journal of Economic Perspectives. Band 3, 1989, yale.edu (PDF; 205 kB)
Die Umtauschsituation Herr Lemke möchte Herrn Schmidt beschenken und gibt ihm zwei Briefumschläge mit den Worten „Ich schenke Ihnen einen dieser Umschläge. In beiden befindet sich ein Geldbetrag, im einen doppelt so viel wie im anderen. Sie dürfen einen Umschlag öffnen und dann entscheiden, welchen der beiden Umschläge Sie nehmen.“
Herr Schmidt öffnet einen zufällig ausgewählten der beiden Umschläge, findet zum Beispiel 100 Euro und überlegt: „Ich habe in diesem Umschlag 100 Euro. Wenn ich tausche, habe ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % 200 Euro und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 50 Euro. Dies macht einen Erwartungswert von 125 Euro.“
Nach dieser Überlegung würde sich das Tauschen lohnen.
Das Paradoxon Die folgende Überlegung führt Herrn Schmidts Rechnung vermeintlich ad absurdum: Wenn die Rechnung von Herrn Schmidt für jeden beliebigen Betrag das Ergebnis lieferte, dass sich Tauschen lohne, so bräuchte er den Umschlag gar nicht zu öffnen, sondern könnte gleich den anderen Umschlag nehmen. Es kann aber nicht sein, dass der andere Umschlag immer besser ist, da ja beide Umschläge vor dem Öffnen offensichtlich gleichwertig sind.
Die Denkfalle Eine mögliche Denkfalle besteht darin, dass Herr Schmidt entweder das Indifferenzprinzip oder die bedingte Wahrscheinlichkeit falsch anwendet, also davon ausgeht, dass die 100 Euro mit einer 50-50-Wahrscheinlichkeit den halben oder den doppelten Betrag darstellen. Abhängig von Herrn Lemkes Auswahlverfahren kann das für diesen Betrag richtig sein, jedoch nicht für alle Beträge. Zunächst wird tatsächlich mit einer 50-%-Wahrscheinlichkeit der Umschlag mit dem kleineren oder größeren Betrag geöffnet. Es handelt sich daher entweder um die 50/100- oder um die 100/200-Euro-Kombination. Daraus kann aber nicht geschlossen werden, dass unter der Bedingung, dass 100 Euro gefunden wurden, die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Kombinationen gleich sind. Über die Wahrscheinlichkeiten dieser Fälle ist nichts bekannt, und das Indifferenzprinzip ist ausgehend von einem aufgedeckten Betrag auf die Ereignisse „doppelter Betrag“ () und „halber Betrag“ () aus grundsätzlichen Erwägungen heraus nicht anwendbar. In der Denkfallen-SammlungDenkfallen und Paradoxa wird das an einigen Rechenbeispielen weiter verdeutlicht.Denkfallen und Paradoxa: Umtauschparadoxon (Briefumschlag-Paradoxon) Denkfallen: Umtauschparadoxon. (PDF) hs-fulda.de
Hingegen ist es durchaus möglich, dass, ausgehend vom Wert des geöffneten Umschlags, der bedingte Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags immer höher ist; dies aber nur, wenn der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags größer als der Erwartungswert des geöffneten Umschlags ist oder wenn beide Erwartungswerte unendlich sind.
Analyse mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
Die Rechnung mit einer 50-50-Wahrscheinlichkeit entspringt also einer unzulässigen Anwendung des Indifferenzprinzips. Die Berechnung des Erwartungswertes kann aber auch bei anderen Wahrscheinlichkeiten zu dem scheinbaren Widerspruch führen, dass ein Tausch immer angezeigt wäre. Um allgemein eine sinnvolle Tauschentscheidung zu treffen, muss sich Herr Schmidt vor Augen halten, dass er bedingte Wahrscheinlichkeiten verwenden muss, wenn er den Betrag im geöffneten Umschlag in seine Rechnung einbezieht. Der folgende Abschnitt enthält eine formale Analyse, ob bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Tausch für gewisse Beträge sinnvoll sein kann und ob es überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung geben kann, bei der ein Tausch immer angezeigt ist. Ob diese Wahrscheinlichkeitsverteilung eine subjektive Einschätzung von Herrn Schmidt ist oder ob eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beträge tatsächlich bekannt ist, ist für die Analyse unwesentlich.David J. Chalmers: The Two-Envelope Paradox: A Complete Analysis? Dazu kann beispielsweise folgende Notation verwendet werden:
die Zufallsvariable bezeichnet den kleineren Betrag in den Umschlägen (im anderen Umschlag befindet sich dann der Betrag ). die Zufallsvariable bezeichnet den Betrag, den Herr Schmidt im zuerst geöffneten Briefumschlag findet. die Zufallsvariable bezeichnet den Betrag, der im anderen, noch ungeöffneten Umschlag ist.
Da beide Umschläge mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt werden, haben und die gleiche Verteilung, sind aber wegen voneinander stochastisch abhängig. Für die Erwartungswerte gilt . Herr Schmidt will offensichtlich die Erwartung von berechnen, wenn er kennt, also die bedingte Erwartung .
Diskrete Verteilungen Zunächst soll der Fall behandelt werden, dass (und damit auch und ) eine diskrete Verteilung besitzt. In diesem Fall bezeichne die Wahrscheinlichkeit, dass der kleinere Betrag in den Umschlägen gleich ist. Für die Verteilung von und folgt dann
Im diskreten Fall gilt für die gesuchte bedingte ErwartungRobert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 246, 6.3.5 (2)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist laut Problemstellung nur dann von Null verschieden, wenn entweder oder . In diesen Fällen gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Schmidt den doppelten Betrag im anderen Briefumschlag findet,
Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Herr Schmidt den halben Betrag im anderen Briefumschlag findet, ist gerade komplementär hierzu, also gilt:
Sofern der Erwartungswert der Verteilung mit den korrekten Wahrscheinlichkeiten existiert, erhielte man
Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn gilt; dies ist genau dann der Fall, wenn gilt. Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen erfüllen, lassen sich konstruieren, hat dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Für so eine a-priori-Verteilung ist der gegebene Vorteil der Tauschentscheidung für jeden vorgefundenen Wert im geöffneten Umschlag zwar nicht intuitiv, aber nicht paradox.
Natürlich widerspricht die Annahme, dass beliebig hohe Beträge im Umschlag sein können, der praktischen Einschränkung, dass niemand, also auch nicht Herr Lemke, beliebig viel Geld zur Verfügung hat.
Wenn der durchschnittliche Erwartungswert für einen Umschlag endlich ist, kann das obige Ergebnis leicht erweitert werden. Man kann beweisen, dass der durchschnittliche erwartete Gewinn 0 sein muss. Da es sich nun um Summen unendlicher Reihen handelt, kann es hilfreich sein, sich an Zenos Paradoxon der Rennbahn zu erinnern. Um eine bestimmte Distanz zurückzulegen, muss Achilles zuerst die Hälfte dieser Distanz laufen, dann die Hälfte der verbleibenden Distanz, dann die Hälfte davon und so weiter bis ins Unendliche. Die unendliche Folge dieser Intervalle, , nimmt stetig in Richtung 0 als Grenzwert ab. Eine gegen 0 konvergierende Folge heißt Nullfolge. Per Definition ist die Summe einer unendlichen Reihe der Grenzwert der Folge ihrer Partialsummen, sofern dieser Grenzwert existiert. Mit anderen Worten, die Summe ist die Zahl , so dass für jedes Intervall , wie klein es auch sein mag, nach einem bestimmten Punkt in der Folge von Partialsummen alle nachfolgenden Umschläge innerhalb von von liegen. Die unendliche Reihe konvergiert gegen 1. Im Allgemeinen hat eine unendliche Reihe genau dann eine Summe, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert.
Der Erwartungswert für den Umschlag ist . Unter der Annahme, dass sie einen endlichen Wert hat, muss es sich also um eine konvergente unendliche Reihe handeln. Die Partialsumme von , dem durchschnittlichen erwarteten Gewinn bei gegebenem , ist
Da die Folge der Partialsummen von ist die Folge , und es ergibt sich .
Aus der Tatsache, dass konvergiert, folgt, dass auch konvergiert. Daher konvergiert die Folge für gegen 0. Der durchschnittliche erwartete Gewinn beträgt 0, weil es sich um den Grenzwert dieser Folge handelt.Michael Clark, Nicholas Shackel, PhilArchive: The Two-envelope Paradox
Beispiel Wenn man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung annimmt, mit der Herr Lemke das Geld in die Briefumschläge verteilt, lässt sich die Situation sehr gut simulieren. Beispielsweise sei angenommen, er bestimmt den Betrag, indem er einen fairen Würfel wirft. Zeigt der Würfel Augen, so steckt er Euro in den einen und Euro in den anderen Umschlag. Herr Schmidt findet dann mit Wahrscheinlichkeit den Betrag 25 Euro im Umschlag, mit Wahrscheinlichkeit je einen der Beträge 50, 100, 200, 400 oder 800 Euro und wieder mit Wahrscheinlichkeit den Betrag 1600 Euro. Tauscht er nicht, so beträgt der Erwartungswert des Geldgeschenkes also
Tauscht Herr Schmidt in jedem Fall, so ändert sich sein Erwartungswert nicht, da er insbesondere auch den Betrag von 1600 Euro tauscht, obwohl er in diesem Fall nichts gewinnen kann. Vermutet Herr Schmidt aber, dass wohl kaum mehr als 1000 Euro im Umschlag sind, und entscheidet sich daher, dann und nur dann zu tauschen, wenn höchstens 500 Euro im Umschlag sind, so ändern sich die Wahrscheinlichkeiten: Nach dem Tausch hat Herr Schmidt dann weiterhin mit Wahrscheinlichkeit den Betrag 25 Euro im Umschlag, ebenso mit Wahrscheinlichkeit je einen der Beträge 50, 100 oder 200 Euro, den Betrag von 400 Euro allerdings nur noch mit Wahrscheinlichkeit (da Herr Schmidt bei 800 Euro nicht mehr tauscht), dafür aber mit Wahrscheinlichkeit den Betrag von 800 Euro und wieder mit Wahrscheinlichkeit den Betrag 1600 Euro. Der Erwartungswert des Geldgeschenkes ist nun also
Schätzt Herr Schmidt die Situation besser ein und beschließt, erst ab 1000 Euro aufs Tauschen zu verzichten, kann er den Erwartungswert sogar auf 460,62 Euro erhöhen; wird er aber zu gierig und tauscht beispielsweise bis zu 2000 Euro, so fällt er wieder auf den Ausgangswert 393,75 Euro zurück.
Für Herrn Schmidt ist es natürlich schwierig, Herrn Lemke richtig einzuschätzen; wesentlich ist aber, dass das Paradoxon verschwindet, sobald man irgendeine konkrete Wahrscheinlichkeitsverteilung annimmt. Je nach Tauschstrategie von Herrn Schmidt ändert sich der Erwartungswert des Geldgeschenks; die Strategie „Tausche immer“ ist aber gleich gut (oder schlecht) wie die Strategie „Tausche nie“.
Stetige Verteilungen Im Falle, dass der kleinere Geldbetrag (und damit auch und ) eine stetige Verteilung besitzt, ergeben sich im Wesentlichen qualitativ die gleichen Ergebnisse, allerdings können die obigen Formeln für den diskreten Fall nicht einfach analog übernommen werden.
Außerdem muss beachtet werden, dass im stetigen Fall das bedingende Ereignis für alle die Wahrscheinlichkeit null hat, so dass nicht mehr die elementaren Definitionen für die bedingte Wahrscheinlichkeit und den bedingten Erwartungswert verwendet werden können, sondern abstraktere Versionen benutzt werden müssen.
Es bezeichne die Dichtefunktion von . Die Variablen und haben dann beide die gleiche Dichte und es gilt