In der Mathematik sind Anosov-Diffeomorphismen, benannt nach Dmitri Wiktorowitsch Anossow, ein gut verstandenes Beispiel chaotischer Dynamik. Sie zeigen einerseits alle typischen Effekte chaotischen Verhaltens, sind andererseits aber einer mathematischen Behandlung gut zugänglich.
Definition Ein Diffeomorphismus einer riemannschen Mannigfaltigkeit heißt Anosov-Diffeomorphismus, wenn es eine stetige, -invariante Zerlegung
des Tangentialbündels gibt, so dass bzw. durch gleichmäßig kontrahiert bzw. expandiert werden, d. h., es gibt mit
.
Die Unterbündel und heißen stabiles und instabiles Bündel.
Beispiel
mini|Das Bild zeigt, wie die Abbildung mit der Matrix das Einheitsquadrat verformt und wie die Stücke modulo 1 neu arrangiert werden. Die gestrichelten Linien geben die Richtungen maximaler Streckung und Stauchung an, sie entsprechen den Eigenvektoren der Matrix.
Die durch
oder in Matrixnotation
definierte Selbstabbildung des Torus ist ein Anosov-Diffeomorphismus: die Matrix hat zwei Eigenwerte und , die Eigenvektoren liefern eine Zerlegung
in jedem Punkt , wobei und nach der kanonischen Identifizierung
den Eigenvektoren zu und entsprechen. Die Projektionen der zu den Eigenvektoren parallelen Geraden auf den Torus sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Abbildung.
Existenz Eine Vermutung von Smale besagt, dass es Anosov-Diffeomorphismen nur auf Mannigfaltigkeiten gibt, die zu einer Infranilmannigfaltigkeit homöomorph sind. Auf Infranilmannigfaltigkeiten sind Anosov-Diffeomorphismen stets zu affinen (d. h. von einem Homomorphismus induzierten) Abbildungen konjugiert.John Franks: Anosov diffeomorphisms. Proc. Symp. in Pure Math of AMS 14, 61-94, 1968Anthony Manning: There are no new anosov diffeomorphisms on tori. Amer. Jour. of Math. 96, 424 – 429, 1974 Es gibt aber Anosov-Diffeomorphismen auf Mannigfaltigkeiten, die zu einer Infranilmannigfaltigkeit nur homöomorph (und nicht diffeomorph) sind.F. T. Farrell, L. E. Jones: Anosov diffeomorphisms constructed from Diff , Topology 17, 273–282, 1978
Literatur Stephen Smale: Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 747–817 pdf
Einzelnachweise
Kategorie:Dynamisches System Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Geometrische Topologie