Maaßsche Formen oder auch Maaßsche Wellenformen werden in der Theorie der automorphen Formen, einem Teilgebiet der Mathematik untersucht. Im klassischen Sinne sind Maaßsche Formen komplexwertige, glatte Funktionen der oberen Halbebene , die ein ähnliches Transformationsverhalten unter der Operation einer diskreten Untergruppe von auf der oberen Halbebene aufweisen, wie das der Modulformen. Sie sind Eigenformen des hyperbolischen Laplace-Operators auf und erfüllen gewisse Wachstumsbedingungen in den Spitzen eines Fundamentalbereichs von . Im Gegensatz zu den Modulformen müssen Maaßsche Formen nicht holomorph sein. Sie wurden als erstes von Hans Maaß im Jahre 1949 untersucht.
Allgemeines
Die spezielle lineare Gruppe
operiert auf der oberen Halbebene durch die Möbius-Transformationen
.
Diese Operation kann zu einer Operation auf erweitert werden, indem man definiert:
,
Auf der oberen Halbebene ist durch
ein unter der Operation von invariantes Radon-Maß gegeben.
Sei eine diskrete Untergruppe von . Ein Fundamentalbereich zu ist eine offene Teilmenge , sodass ein Vertretersystem von existiert mit und .
Ein Fundamentalbereich für die Modulgruppe ist gegeben durch
(siehe Modulform). Eine Funktion heißt -invariant, falls für jedes und jedes gilt. Für jede messbare -invariante Funktion gilt dann
,
wobei das auf der rechten Seite der Gleichung das auf dem Quotienten induzierte Maß darstellt.
Klassische Maaßsche Wellenformen
Definition des hyperbolischen Laplace-Operators
Der hyperbolische Laplace-Operator auf der Halbebene ist definiert durch
, mit
Dies entspricht gerade dem (verallgemeinerten) Laplace-Operator beziehungsweise Laplace-Beltrami-Operator bezüglich der hyperbolischen Metrik auf der hyperbolischen Ebene .
Definition einer Maaßschen Wellenform
Eine Maaßsche Wellenform zur Gruppe ist eine glatte Funktion auf , sodass
für alle , , für ein . Es existiert ein mit für
Gilt außerdem
für jedes
dann nennt man eine Maaßsche Spitzenform.
Zusammenhang von Maaßschen Wellenformen und Dirichletreihen
Sei nun eine Maaßsche Wellenform. Dann gilt wegen . Damit hat eine Fourier-Entwicklung der Gestalt
,
mit Koeffizientenfunktionen Man kann nachrechnen, dass genau dann eine Maaßsche Spitzenform ist, wenn gilt. Diese Koeffizientenfunktionen können genau angegeben werden, dafür benötigt man die K-Besselfunktion.
Definition: Die K-Besselfunktion ist für definiert durch
.
Das Integral konvergiert für lokal gleichmäßig in und es gilt die Abschätzung
falls .
Damit fällt betragsmäßig exponentiell für . Außerdem gilt für alle , .
Satz: Fourierkoeffizienten einer Maaßschen Wellenform
Sei der Eigenwert der Maaßschen Wellenform bezüglich . Sei die bis aufs Vorzeichen eindeutige komplexe Zahl mit . Dann gilt für die Fourierkoeffizientenfunktionen von
falls . Ist , so gilt
mit .
Beweis: Es gilt . Nach der Definition von Fourierkoeffizienten gilt für
Zusammen folgt für :
In (1) wurde für den ersten Summanden benutzt, dass der -te Fourierkoeffizient von genau ist, da wir Fourierreihen gliedweise differenzieren dürfen. Im zweiten Summanden wurde die Reihenfolge von Integration und Differentiation geändert, was erlaubt ist, da beliebig oft stetig differenzierbar in y ist und man über ein Kompaktum integriert. Es ergibt sich folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:
Für kann man zeigen, dass für jede Lösung dieser Differentialgleichung eindeutige Koeffizienten existieren, sodass gilt .
Für ist jede Lösung der obigen Differentialgleichung von der Form
für eindeutige , wobei die K-Besselfunktion und die I-Besselfunktionen ist (Siehe O. Forster).
Da die I-Besselfunktion exponentiell wächst und die K-Besselfunktion exponentiell fällt, folgt mit der Forderung 3) des höchstens polynomialen Wachstums von
(also ) für ein eindeutiges
Gerade und ungerade Maaßsche Wellenformen: Sei . Dann operiert auf allen Funktionen der oberen Halbebene via . Man rechnet leicht nach, dass mit vertauscht. Wir nennen eine Maaßsche Wellenform gerade, wenn und ungerade wenn . Ist eine Maaßsche Wellenform, so ist insbesondere damit eine gerade Maaßsche Wellenform und eine ungerade Maaßsche Wellenform und es gilt .
Satz: L-Funktion einer Maaßschen Wellenform
Sei eine Maaßsche Spitzenform. Wir definieren die sogenannte L-Funktion von als
.
Dann konvergiert die Reihe für und man kann sie zu einer ganzen Funktion auf fortsetzen.
Ist gerade oder ungerade, so definiert man
wobei , falls gerade und , falls ungerade ist. Dann erfüllt die Funktionalgleichung
.
Beweis:
Sei eine Maaßsche Spitzenform. Zuerst machen wir uns klar, wie schnell die Fourierkoeffizienten von wachsen.
Behauptung: Es gilt
Beweis: Da eine Maaßsche Spitzenform ist, existieren , sodass für die Ungleichung gilt. Ist und ist konjugiert zu modulo , so rechnet man leicht nach, dass gilt. Da invariant unter ist, gilt für : . Also gilt für die Abschätzung
.
Für und gilt damit
.
Damit finden wir eine Konstante , sodass für jedes gilt:
Nun fällt die K-Besselfunktion aber exponentiell schnell und ist eine Maaßsche Spitzenform. Zusammen folgt, dass auf dem Fundamentalbereich von beschränkt ist und damit auf . Damit können wir den obigen Beweis mit wiederholen und erhalten für ein , also .
Damit konvergiert die Reihe für .
Um den zweiten Teil des Satzes zu beweisen, brauchen wir noch die Mellin-Transformierte von .
Für konvergiert das Integral
absolut und es gilt
.
Ist nun gerade oder ungerade, folgt aus der Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten für alle .
Sei gerade. Der Fall ungerade funktioniert ähnlich und wird deswegen hier nicht gezeigt. Dann gilt:
Das Vertauschen der Reihenfolge von Integral und Summe zeigt man zum Beispiel mit majorisierter Konvergenz, wobei man ausnutzt, dass für die K-Besselfunktion für gilt:
Ebenso zeigt man, dass für exponentiell fällt.
Wir definieren nun
Damit gilt . Da exponentiell fällt für , konvergiert für jedes und damit ist eine ganze Funktion (komplexe Analysis). Nun ist aber invariant unter , womit insbesondere folgt.
Wir erhalten nun:
Damit ist auch eine ganze Funktion und damit ist ganz. Insbesondere kann man damit zu einer ganzen Funktion auf fortsetzen. Weiterhin gilt für die Funktionalgleichung
.
Damit ist insbesondere auf ganz holomorph fortsetzbar und der Satz ist bewiesen.
Beispiel: Die nichtholomorphe Eisensteinreihe E
Die nichtholomorphe Eisensteinreihe wird für und definiert durch
,
wobei die Gammafunktion ist.
Die obige Reihe konvergiert absolut in für und lokal gleichmäßig in , denn man kann zeigen, dass die Reihe absolut in konvergiert, wenn . Genauer konvergiert die Summe sogar gleichmäßig auf jeder Menge , für jedes Kompaktum und jedes .
Insbesondere ist als Limes stetiger Funktionen stetig in . Für festes ist sogar holomorph in , da nach Weierstraß der lokalgleichmäßige Limes holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.
Satz: E ist eine Maaßsche Wellenform
Wir zeigen hier nur die -Invarianz und die Eigengleichung. Einen Beweis der Glattheit findet man bei Deitmar oder Bump. Die Wachstumsbedingung folgt aus dem Satz der Fourier-Entwicklung von E.
Zuerst zur -Invarianz. Sei
die Stabilisatorgruppe von bezüglich der Operation von auf . Dann gilt Folgendes.
Lemma: Die Abbildung
ist eine Bijektion.
Proposition: E ist Γ(1)-invariant
(a) Sei . Dann konvergiert absolut in für und es gilt:
(b) Es gilt für jedes .
Beweis:
Zu (a): Für gilt . Damit folgt mit obigem Lemma
Damit folgt die absolute Konvergenz in für .
Des Weiteren folgt
,
denn die Abbildung ist eine Bijektion.
Damit folgt (a).
Zu (b): Für gilt .
Nach (a) ist damit auch invariant unter .
Proposition: E ist eine Eigenform des hyperbolischen Laplace-Operators
Wir benötigen Folgendes.
Lemma: vertauscht mit der Operation von auf . Genauer gilt für jedes :
Beweis: Die Gruppe wird erzeugt von den Elementen der Form mit , mit und . Man rechnet die Behauptung auf diesen Erzeugern nach und erhält somit die Behauptung für jedes .
Wegen (vergleiche oben) reicht es, die Eigengleichung für zu zeigen. Es gilt:
Außerdem gilt
.
Da der Laplace-Operator mit der Operation von vertauscht, folgt für jedes
und damit .
Damit folgt für die Eigengleichung auch für . Um die Behauptung für jedes zu erhalten, betrachte die Funktion . Man schreibt diese Funktion mit Hilfe der Fourier-Entwicklung von explizit aus und erkennt, dass sie meromorph ist. Nun verschwindet sie aber für , damit ist sie nach dem Identitätssatz identisch Null und die Eigengleichung gilt für jedes .
Satz zur Fourier-Entwicklung von E
Die nichtholomorphe Eisensteinreihe besitzt eine Fourier-Entwicklung
wobei die Fourierkoeffizienten gegeben sind durch:
Für hat eine meromorphe Fortsetzung in auf ganz . Diese ist holomorph bis auf einfache Pole in .
Die Eisenstein-Reihe erfüllt für jedes die Funktionalgleichung
und es gilt lokal gleichmäßig in die Wachstumsbedingung
wobei .
Die meromorphe Fortsetzung von E ist von großer Bedeutung in der Spektraltheorie des hyperbolischen Laplace-Operators.
Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k
Kongruenzuntergruppen
Für sei der Kern der kanonischen Projektion
.
Man nennt Hauptkongruenzgruppe der Stufe . Eine Untergruppe heißt Kongruenzuntergruppe, falls ein existiert, sodass . Alle Kongruenzuntergruppen sind diskret.
Es sei . Für eine Kongruenzuntergruppe sei das Bild von in . Es sei S ein Vertretersystem von , dann ist
ein Fundamentalbereich für . Die Menge ist durch den Fundamentalbereich eindeutig festgelegt. Zudem ist endlich.
Man nennt die Punkte für Spitzen des Fundamentalbereichs . Sie liegen komplett in .
Für jede Spitze existiert ein mit .
Definition Maaßsche Wellenformen vom Gewicht k
Sei eine Kongruenzuntergruppe von und .
Wir verallgemeinern den hyperbolischen Laplace-Operator zum hyperbolischen Laplace-Operator vom Gewicht , wobei:
Für definieren wir eine Rechtsoperation von auf durch
wobei .
Man kann zeigen, dass für jedes , und jedes gilt:
Damit operiert auf dem Vektorraum
.
Definition: Eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht zur Gruppe ist eine Funktion , die eine Eigenform von ist und von moderatem Wachstum an den Spitzen ist.
Zum Begriff des moderaten Wachstums an den Spitzen:
Ist eine Kongruenzuntergruppe, dann ist eine Spitze und man nennt eine Funktion aus von moderatem Wachstum bei , falls durch ein Polynom beschränkt werden kann, wenn . Sei nun eine andere Spitze. Dann existiert ein mit . Sei dann . Man rechnet nach, dass dann in liegt, wobei die Kongruenzuntergruppe ist. Man sagt nun ist von moderatem Wachstum an der Spitze , falls von moderatem Wachstum an der Spitze ist.
Enthält die Hauptkongruenzgruppe der Stufe , so nennt man kuspidal bei unendlich, falls
für jedes
gilt. Man nennt kuspidal bei einer Spitze , falls kuspidal bei unendlich ist.
Ist an jeder Spitze kuspidal, nennt man Spitzenform.
Maaßsche Wellenformen, die kuspidal sind, nennen wir Maaßsche Spitzenformen.
Wir geben ein Beispiel einer Maaßschen Wellenform vom Gewicht zur Modulgruppe:
Beispiel: Sei eine Modulform vom Gewicht zur Gruppe . Dann ist eine Maaßsche Wellenform vom Gewicht zur Gruppe .
Beweis: Da eine Modulform ist, ist holomorph, also insbesondere glatt in . Damit ist glatt. Sei nun . Dann gilt
.
Da eine Modulform ist, ist insbesondere holomorph in , d. h. für . Damit existiert aber ein , sodass für .
Wir zeigen nun noch die Eigengleichung für . Da holomorph ist, gelten die Riemannschen Differentialgleichungen, also
und damit folgt mit dem Satz von Schwarz . Es gilt dann:
Damit ist eine Maaßsche Form vom Gewicht zur Gruppe .
Das Spektralproblem
Sei eine Kongruenzuntergruppe von . Es sei der Vektorraum aller messbaren Funktionen mit für jedes und
modulo Funktionen mit . Das Integral ist wohldefiniert, da die Funktion -invariant ist. Der Raum ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt
.