Das sapogowsche Kriterium ist eines der Konvergenzkriterien für unendliche Reihen und gehört als solches in das mathematische Teilgebiet der Analysis. Es geht, wie G. M. Fichtenholz in Band II seiner dreibändigen Differential- und Integralrechnung ausweist, auf den sowjetischen Mathematiker Nikolai Alexandrowitsch Sapogow (1915–1983) zurück.G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 304, S. 834Wegen der Lebensdaten vgl. Eintrag zbMATH Open! Obwohl im Geburtsjahr Sapogows die Sowjetunion noch nicht bestand, wird bei Fichtenholz Sapogow dennoch als „sowjetischer Mathematiker“ bezeichnet.

Formulierung Fichtenholz folgend kann man das Kriterium folgendermaßen formulieren:Fichtenholz, op. cit., S. 304 Gegeben sei eine monoton wachsende Folge von positiven reellen Zahlen. Dazu sei die Reihe

gebildet. Dann gilt: (I) ist eine konvergente Reihe, wenn eine beschränkte Folge ist. In diesem Falle ist auch die verwandte Reihe konvergent. (II) Ist jedoch unbeschränkt, so ist divergent.

Verwandte Kriterien Mit dem sapogowschen Kriterium verknüpft ist ein weiteres, welches auf Niels Henrik Abel und Ulisse Dini zurückgeht und mit dessen Hilfe Fichtenholz den Beweis des sapogowschen Kriterium führt.Fichtenholz, op. cit., S. 303–304 Dieses Kriterium tritt ebenfalls in Konrad Knopps Monographie Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen auf und wird dort als Satz von Abel und Dini bezeichnet. Der Darstellung von Knopp folgend lässt es sich folgendermaßen angeben:Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 1964, S. 299 Gegeben seien eine Folge positiver reeller Zahlen sowie eine beliebige reelle Zahl . Die der Folge zugehörige Reihe sei divergent. Dann gilt hinsichtlich der Partialsummenfolge : (a) Für ist die dazu neu gebildete Reihe ebenfalls divergent. (b) Für jedoch ist konvergent.

Den Satz von Abel und Dini führt Knopp wiederum auf ein Resultat zurück, welches von Alfred Pringsheim stammt und bei Knopp als Satz von Pringsheim bezeichnet wird:Knopp, op. cit., S. 300 Ist eine Folge positiver reeller Zahlen mit Partialsummenfolge und ist die der Folge zugehörige Reihe divergent, so ist für eine beliebige reelle Zahl die verwandte Reihe

stets konvergent.

Literatur

Einzelnachweise

Anmerkungen und Hinweise

Kategorie:Analysis Kategorie:Satz (Mathematik) Sapogowsches Kriterium