Die Ungleichung von Popoviciu () ist ein Lehrsatz der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die Ungleichung, welche einer Arbeit des rumänischen Mathematikers Tiberiu Popoviciu (1906–1975)Popoviciu, Tiberiu. in der Datenbank zbMATH Open. aus dem Jahre 1965 entstammt, stellt eine charakteristische Eigenschaft stetiger konvexer Funktionen auf reellen Intervallen dar. Sie lässt sich als Folgerung aus dem Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya gewinnen.Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. 2006, S. 12, 33
Formulierung Der Lehrsatz lässt sich angeben wie folgt:Niculescu/Persson, op. cit., S. 12 Gegeben seien ein beliebiges reelles Intervall und eine stetige reelle Funktion . Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig: (B_1) ist eine konvexe Funktion. (B_2) Je drei reelle Zahlen erfüllen die Ungleichung . Dabei ist streng konvex dann und nur dann, wenn für je drei , vom Fall abgesehen, die obige Ungleichung mit dem Vergleichszeichen anstelle des Vergleichszeichens gilt.
Zwei Ungleichungen als Anwendung Mit Hilfe von Popovicius Ungleichung lassen sich unter anderem die folgenden beiden herleiten:Niculescu/Persson, op. cit., S. 14 Für je drei reelle Zahlen , welche nicht alle gleich sind, gilt stets: (1) . (2) .
Allgemeinere Ungleichungen, Integralversion Tiberiu Popoviciu gab in der Arbeit von 1965 seine Ungleichung in einer noch allgemeineren Fassung an, welche in der Folge – insbesondere durch Petar M. Vasić und Ljubomir R. StankovićSiehe Eintrag „Stankovic, Ljubomir R.“ in der Datenbank zbMATH Open! – noch erweitert wurde.Niculescu/Persson, op. cit., S. 60 Andere Autoren fanden weitere Verallgemeinerungen und Abwandlungen. Nicht zuletzt wurde die Ungleichung von Popoviciu auch in eine Integralversion übertragen.Constantin P. Niculescu: The integral version of Popoviciu's inequality. J. Math. Inequal. 3 (2009), no. 3, 323–328
Weitere Ungleichung von Popoviciu Mit dem Namen von Tiberiu Popoviciu sind einige weitere Ungleichungen verbunden und insbesondere die folgende, welche eine Verallgemeinerung einer bekannten Ungleichung von János Aczél darstellt:Shanhe Wu: Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality In: Comput. Math. Appl. 56, S. 1196 ffD. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 58, 39 Gegeben seien reelle Zahlen sowie (zu einer gegebenen natürlichen Zahl ) zwei -Tupel und positiver reeller Zahlen. Weiter seien und . Dann gilt: .
Ungleichung von Aczél Im Falle ergibt sich als Sonderfall dieser Ungleichung von Popoviciu die erwähnte Ungleichung von Aczél, welche dann sogar unter weiter verallgemeinerten Voraussetzungen Geltung hat:D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 57–59 Für je zwei -Tupel und reeller Zahlen derart, dass ODER gilt, hat man stets die Abschätzung .
Literatur
Einzelnachweise und Fußnoten
Kategorie:Analysis Popoviciu, Ungleichung von Popoviciu, Ungleichung von