In vielen Zweigen der Mathematik gibt es mathematische Trugschlüsse und Fehlschlüsse. Trug- und Fehlschlüsse werden in der Philosophie zusammen als Fallazien (, =Täuschung) bezeichnet. Scheinbeweise sind in der Mathematik Beweise, in denen Fallazien auftreten. Nicht wenige Fehlschlüsse haben in der Geschichte der Mathematik eine Rolle gespielt und waren Ausgangspunkte mathematischer Forschung. In der mathematischen Didaktik gehört das Aufdecken von Scheinbeweisen zu den Problemlöseaktivitäten.
Bei Fehlschlüssen handelt derjenige, der sie begeht, in gutem Glauben, während bei Trugschlüssen die Absicht zu täuschen wesentlich ist. Diese Unterscheidung ist freilich nicht scharf. Trugschlüsse führen durch eine plausibel erscheinende List zu einem falschen Ergebnis. Die Kunst dabei ist, den Fehler so zu verdecken, dass er zunächst nicht auffällt, und erst beim absurden Resultat offenkundig wird. Insbesondere Laien und Anfängern ist mitunter nicht sofort ersichtlich, wo der Fehler steckt. Trugschlüsse können als mathematischer Witz vorgetragen werden, in denen typische mathematische Schlussweisen in einem absurden Kontext angewendet werden.
Oft wird in einem Trugschluss eine mathematische Regel missachtet, sodass ihre Bedeutung mit dem Trugschluss begründet werden kann. In der elementaren Algebra beinhalten typische Beispiele einen Schritt, bei dem die Division durch null auftritt oder unterschiedliche Werte einer mehrdeutigen Funktion gleichgesetzt werden. Bekannte Trugschlüsse sind auch in der Analysis und der euklidischen Geometrie bekannt. Ein berühmter Scheinbeweis basiert auf divergenten Reihen, aus denen fast jeder Unsinn abgeleitet werden kann.
Über die Geschichte der Fehl- und Trugschlüsse ist, von wenigen Ausnahmen abgesehen, wie die auf Fehlschlüssen basierenden Paradoxien des Zenon von Elea oder das Pferde-Paradox, sehr wenig bekannt. Vielfach werden mathematische Scherze von Mund zu Mund verbreitet und erst später (meist ohne Namensangabe) irgendwo herausgegeben, ohne dass bekannt ist, ob das nun auch wirklich die erste Veröffentlichung ist.
Im Folgenden sind
Trugschlüsse und Scheinbeweise
Auflösung
wie gezeigt in einem Kasten eingerahmt. Über den Hyperlink „Auflösung“ im Kasten kann man gegebenenfalls in den Abschnitt #Auflösungen springen, wo die List erläutert wird. Mit der Zurück-Schaltfläche des Webbrowsers gelangt man wieder an den Absprungort.
Arithmetik Richtiges Ergebnis trotz falscher Rechnung Eine eigene Klasse von Trugschlüssen () entstehen durch eine korrekte Schlussfolgerung trotz fehlerhafter „Herleitung“. Manchmal gleichen sich zwei Fehler aus und erbringen das richtige Resultat. Solche fehlerhaften Argumente leiten nur in Spezialfällen zum richtigen Ergebnis, besitzen also keine Allgemeingültigkeit und sind mathematisch wertlos.
So kann jemand den Preis eines Einkaufs der in der Tabelle aufgeführten Waren
Menge Ware Einzelpreis Mengeneinheit¼ pfpf = Pfund, s = Schilling = 12 d (Denarii, Pfennige) Butter 2 s 10 d pf2½ pf Schmalz 10 d pf3 pf Zucker 3¼ d pf6 Schachteln Streichhölzer 7 d 12 Schachteln4 Pakete Seifenflocken 2½ d Paket
durch einfaches Zusammenzählen der Einzelpreise zum – trotzdem – richtigen Endpreis summieren: 4 s 8¾ d= 8½ d + 2 s 1 d + 9¾ d + 3½ d + 10 d = 2 s 10 d + 10 d + 3¼ d + 7 d + 2½ d
Das „Kürzen“ von Ziffern und Zeichen in einem Bruch belässt den Quotient nur in Ausnahmefällen unverändert:
oder gewagter
Das Herausziehen von Summanden aus einer Wurzel
ist normalerweise unzulässig, basiert hier aber auf der Kurzschreibweise von gemischten Brüchen (z. B. ) und der allgemeingültigen Regel
.
Verknüpfung von Gleichem mit Gleichem Die menschliche Ausdrucksweise ist oft mehrdeutig und ungenau. Dies kann dazu missbraucht werden, nur scheinbar Gleiches zu einem Trugschluss zu verknüpfen.
2 kg = 2000 g
3 kg = 3000 g
Gleiches mit gleichem multipliziert ergibt Gleiches, also:
6 kg = 3000 g · 2000 g = 6.000.000 g = 6000 kg.
Auflösung
Das Zusammenwerfen von Äpfeln und Birnen führt auch mathematisch zu falschen Schlüssen:
Keine Katze hat acht Schwänze.
Eine Katze hat einen Schwanz mehr als keine Katze.
Gleiches zu Gleichem addiert ergibt Gleiches, also:
Eine Katze hat neun Schwänze.
Auflösung
Algebra Division durch 0 Aus der Identität folgt nach Division durch den gemeinsamen Faktor 0 auf der rechten und linken Seite die Identität , die nicht immer richtig sein muss, sodass damit Trugschlüsse konstruiert werden können.
Satz:
Beweis: 1. Es gelte : 2. Multiplikation mit : 3. Addieren von : 4. Zusammenfassen : 5. Eliminieren von : q. e. d.
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In die Kategorie „mathematischer Witz“ gehört der Scheinbeweis von .
Satz:
Beweis: 1. Ausgangspunkt : 2. Zusammenfassen : 3. Vereinfachen : 4. Umstellen : 5. Umformen : Mit folgt die Behauptung, q. e. d.
Auflösung
Die Gleichung als Spezialfall der „allgemeingültigen“ Gleichung darzustellen, ist freilich absurd. Hier wird die Neigung von Mathematikern veralbert, einen Satz, um seine Anwendbarkeit zu erweitern, möglichst allgemein zu formulieren und den Anlass der Untersuchung dann als Spezialfall einzuschließen.
Gleichsetzen mehrdeutiger Ausdrücke Eine Quadratzahl ungleich Null hat immer zwei verschiedene Wurzeln, eine positive und eine negative. Indem beide gleichgesetzt werden, können nach dem Schema erstaunliche Trugschlüsse „hergeleitet“ werden.
Satz: Alle Zahlen sind gleich
Beweisskizze: Wenn zwei beliebige Zahlen und gleich sind, dann sind alle Zahlen gleich. 1. Ausgangspunkt : mit beliebigem und 2. Multiplizieren mit : 3. Ausmultiplizieren : 4. Umstellen : 5. Addieren von : 6. Zweite binomische Formel : 7. Vereinfachen : 8. Addieren von : q. e. d.
Auflösung
Im Reich der komplexen Zahlen hat jede Zahl zwei verschiedene Quadratwurzeln (außer null). Im Ausdruck steht der Ausdruck auf der rechten Seite also für zwei Werte und während links eine feste komplexe Zahl steht. Das kann Anlass zu Trugschlüssen sein.
1. Ausgangspunkt : 2. Wurzelziehen : 3. Einsetzen von : 4. Mit multiplizieren : 5. einsetzen :
Auflösung
Auch die folgende Gleichungskette nutzt diese Tatsache aus:
Auflösung
Nicht korrekter wird es, wenn im Exponenten auftritt.
1. Eulersche Relation mit : 2. Zur -ten Potenz erheben : 3. Vereinfachen :
Auflösung
Analysis Differentialrechnung In der Differentialrechnung werden Differentiale benutzt, die in bestimmten Fällen null sind, beispielsweise wenn eine Konstante ist. Wie in der Algebra können daraus Trugschlüsse konstruiert werden.
Satz: Es gibt keinen Punkt auf einem Kreis, der am nächsten zu einem anderen Punkt ist, der nicht auf dem Kreis und nicht in seinem Mittelpunkt liegt.
Beweis über Differentialrechnung.
Gegeben sei ein Kreis mit Radius um den Mittelpunkt . Sei der Punkt, zu dem der nächste Punkt auf dem Kreis gesucht wird. In den Punkt wird der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems gelegt, dessen x-Achse durch den Mittelpunkt geht. Die x-Koordinate von sei . Für einen Punkt auf dem Kreis gilt nach dem Satz von Pythagoras: oder Das Abstandsquadrat zwischen und ist nach Pythagoras . In 4.) eingesetzt wird daraus: . Der Abstand ist extremal, wenn die Ableitung ist. Ableitung von 6.) nach resultiert in oder , weil nach Voraussetzung nicht auf dem Kreis liegt und daher ist. Die Bedingung ist gemäß 8.) nur erfüllt, wenn , das heißt , gilt. Für alle Punkte, die nicht auf dem Kreis aber außerhalb des Mittelpunkts des Kreises liegen, gibt es keinen nächsten Punkt auf dem Kreis. q. e. d.
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Integralrechnung Die Integration einer Funktion mit der Substitutionsregel oder eines Produkts mit partieller Integration unterliegt strengen Regeln, die bei Missachtung leicht zu Trugschlüssen führen.
Satz:
Beweisskizze: Wenn das bestimmte Integral des Produkts jeder beliebigen Funktion mit dem Cosinus über ein Intervall verschwindet, dann ist die Länge des Intervalls null. Wenn über das Intervall integriert wurde, heißt das, dass ist.
1. Ausgangspunkt , beliebig. 2. Substitution , : mit 3. Einsetzen von 2.) in 1.):
4. Auswertung von 3.) im Intervall . An der unteren Grenze ist und an der oberen Grenze ist . Also: , beliebig. q. e. d.
Auflösung
Siehe auch Partielle Integration#Kehrwertfunktion mit einem Beispiel, aus dem leicht ein weiterer Trugschluss aus der Integralrechnung gemacht werden kann.
Ableitungen aus divergenten Reihen Mit divergenten Reihen kann (fast) alles „bewiesen“ werden. Ein berühmter, darauf basierender Scheinbeweis ist der folgende.
Satz: Für die Summe der natürlichen Zahlen gilt: .
Beweis durch ausrechnen.
Ausgangspunkt ist die unendliche Reihe
Bei der schrittweisen Addition der Folgenglieder treten die Werte 0 und 1 für die Reihe wie beim Werfen einer perfekten Münze gleich oft auf und daher ist ½ der Erwartungswert der Reihe. Nun ist
mit
Diese Reihe ist proportional zur gesuchten Reihe , denn
Also ist oder mit :
q. e. d.
Auflösung
Mit der Reihe A kann auch der folgende Trugschluss konstruiert werden:
Auflösung
Logik
Unzulässige Folgerungen Trugschlüsse im Bereich der Aussagenlogik können sich aus dem Unterschied zwischen Subjunktion „→“ und Bijunktion „↔“ ergeben: „Wenn a, dann b“ bedeutet für zwei Aussagen a und b nicht immer auch „wenn b, dann a“, wie das folgende Beispiel zeigt.
Satz:
Algebraischer Beweis:
Ausgangspunkt ist die Gleichung
.
Weil hier offensichtlich ist, ist das gleichbedeutend mit
und .
Addition von 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung liefert weiter:
.
Also ist , was in der ersten Gleichung impliziert.
q. e. d.
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Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, nach der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird, die größer oder gleich einem bestimmten Startwert, beispielsweise 1, sind. Am Induktionsanfang 1 trifft die Aussage oft offensichtlich zu. Dann wird im Induktionsschritt bewiesen, dass, wenn die Aussage für gilt (Induktionsvoraussetzung), sie auch für gilt. Damit gilt sie dann für , daher auch für , daher auch für usw. Bei inkorrekter Anwendung können Scheinbeweise wie der folgende auftreten.
Satz: Alle Deutschen haben dasselbe Alter.
Beweis über vollständige Induktion:
Die Behauptung, dass in einer Gruppe von Personen aus der Grundgesamtheit aller Deutschen alle dasselbe Alter haben, wird mit bezeichnet.
Induktionsanfang In einer „Gruppe“ aus nur einer Person, sind alle Personen in der Gruppe gleichaltrig. Die Aussage trifft also jedenfalls zu. Induktionsvoraussetzung Sei die Behauptung für richtig. In einer Gruppe aus Deutschen haben alle dasselbe Alter. Induktionsschritt Hier ist zu beweisen, dass wenn ) wahr ist, dies auch Gültigkeit von nach sich zieht. Dazu werden Deutsche in eine Reihe gestellt. rahmenlos Zunächst wird die erste Person aus der Reihe entfernt. rahmenlos Übrig bleiben Deutsche in der Reihe, die nach Voraussetzung gleichaltrig sind. wird wieder an erster Stelle der Reihe platziert und die letzte Person aus der Reihe entfernt. rahmenlos Übrig bleiben wieder Deutsche, die nach Voraussetzung alle dasselbe Alter haben. Also haben alle Personen in der Reihe dasselbe Alter und die Behauptung trifft zu. Induktionsschluss Damit ist für alle bewiesen und alle Deutschen haben dasselbe Alter.
Auflösung
Faule Definitionen
Die Trugschlüsse im Bereich fauler Definitionen basieren auf dem logischen Konzept
Auf die Elemente der leeren Menge treffen alle Eigenschaften zu.
Das ist an sich eine vernünftige Vereinbarung, denn alle Mengen sind Erweiterungen der leeren Menge. Ein nicht-existentes Objekt kann aber für Trugschlüsse missbraucht werden, denn es hat dafür geeignete Eigenschaften.
So zum Beispiel die größte natürliche Zahl.
Sei die größte natürliche Zahl, also für alle . Insbesondere auch für trifft das zu, weswegen folgt. Andererseits ist auch und , weswegen und oder gilt. Damit ist oder , was nur den Schluss zulässt.
Auflösung