Eine Gruppenkohomologie (Gruppen-Kohomologie) ist eine spezielle Kohomologie und ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch in der Topologie und Zahlentheorie angewendet wurde. Die Gruppenkohomologie von Galoisgruppen wird auch als Galoiskohomologie bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. In der Topologie spielt Gruppenkohomologie als Kohomologie von Eilenberg-MacLane-Räumen eine wichtige Rolle.
Definition als abgeleiteter Funktor
Definition Es sei eine Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul die Untergruppe der unter invarianten Elemente zuordnet, ist linksexakt. Seine n-te Rechtsableitung ist die n-te Kohomologiegruppe von mit Koeffizienten in einem -Modul .
Beziehung zu Ext Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden:
dabei ist der Gruppenring von und mit der trivialen -Operation versehen.
Definition über Koketten Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich, dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewählten projektiven Auflösung des trivialen -Moduls berechnet werden kann. Sie kann als explizit angegeben werden:
dabei ist
d. h. Index wird ausgelassen.
Die Gruppenkohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes mit
und
Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Koketten.
Inhomogene Koketten Die Bedingung der -Invarianz der Koketten erlaubt es, die Zahl der Kopien von um eins zu senken: Die Gruppenkohomologie kann auch über den Komplex der inhomogenen Koketten definiert werden:
und
Beispielsweise ist
Die inhomogenen 1-Kozykel
heißen verschränkte Homomorphismen.
Definition über klassifizierende Räume Die Gruppenkohomologie kann äquivalent definiert werden als die Kohomologie des Eilenberg-MacLane-Raumes , also des klassifizierenden Raumes der mit der diskreten Topologie versehenen Gruppe: . Für praktische Berechnungen ist diese Definition oft nützlicher als andere Definitionen.
Siehe auch
Gruppenhomologie
Weblinks
Literatur
Kenneth S. Brown: Cohomology of groups (= Graduate Texts in Mathematics 87). Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-90688-6. George Janelidze, Bodo Pareigis, Walter Tholen (Hrsg.): Galois Theory, Hopf Algebras, and Semiabelian Categories (= Fields Institute Communications 43). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3290-5. Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. B.I.-Hochschulskripten, 713/713a*. Bibliographisches Institut, Mannheim/Vienna/Zürich 1969, ISBN 978-3-642-17324-0, x+308 S.
Kategorie:Darstellungstheorie von Gruppen Kategorie:Kohomologietheorie Kategorie:Algebraische Topologie