Die Simon-Probleme sind eine Liste von fünfzehn Problemen aus der mathematischen Physik, die Barry Simon 1984 zusammenstellteSimon: Fifteen problems in mathematical physics, Oberwolfach Anniversary Volume, 1984, 423–454 und 2000 aktualisierte.Simon: Schrodinger Operators in the twentieth-first century, in: A. Fokas, A. Grigoryan, T. Kibble, B. Zegarlinski (Hrsg.): Mathematical Physics 2000, Imperial College Press, London, 283–288
Simon zählte 1984 fünfzehn Probleme auf, die meist jeweils mehrere Teilprobleme hatten, so dass man je nach Zählung auch auf 35 kommt.In der 2000 aktualisierten Problemliste gibt Simon an, dass fünf inzwischen gelöst seien. Einige der Probleme sind außerordentlich schwierige Grundlagenprobleme und einige von Simon bewusst (nach dem Vorbild einiger der Hilbertschen Probleme) sehr vage formuliert und umreißen eher Forschungsfelder.
Problem 1: N-Körper-Problem in Newtonscher Gravitationstheorie Problem 1A: Gefragt wird nach der Existenz globaler Lösungen in der Zeit. Für hat die Menge der Anfangszustände, für die global keine Lösung existiert (das heißt allgemein für N Teilchen: zwei oder mehr Teilchen kommen sich in endlicher Zeit beliebig nahe, dann divergieren Potential und Geschwindigkeiten), das Maß Null im Phasenraum (da sie eine Untermenge der Lösungen mit Gesamtdrehimpuls Null ist). Man zeige, dass dies auch für gilt.
Probleme dieser Art behandelte zuerst Paul Painlevé. Er zeigte, dass für (und damit auch für weniger Teilchen) alle Singularitäten vom Kollisionstyp sind. Zhihong Xia bewies 1992, dass es für Lösungen gibt, in denen ein Teilchen in endlicher Zeit ins Unendliche entkommt in einer Lösung vom Nicht-Kollisionstyp (für ist unbekannt, ob es solche Singularitäten vom Nicht-Kollisionstyp gibt). Donald Saari zeigte 1977, dass für (oder weniger Teilchen) die Menge der Anfangszustände für die keine globale Lösung existiert das Maß Null hat. Außerdem bewies er, dass die Menge der Anfangsbedingungen, die zu Kollisionen führen für jedes Maß Null hat. Zu zeigen bleibt, dass die Menge der Anfangsbedingungen mit den Singularitäten vom Nicht-Kollisionstyp für das Maß Null hat. Das Problem ist ungelöst (2016).Zusammenfassung des Standes des Problems nach John Baez, Struggles with the continuum, Arxiv 2016 Würde bewiesen, dass die Menge der Anfangsbedingungen die zu Singularitäten führen in der Newtonschen Gravitationstheorie das Maß Null hat, wäre damit im mathematischen Sinn „für fast alle“ Anfangsbedingungen gezeigt, dass die Newtonsche Gravitationstheorie deterministisch ist.Wobei das Problem nicht die Kollisionen zweier Körper sind, die sich regularisieren lassen, sondern Kollisionen „höherer Ordnung“
Problem 1B: Das von Simon gestellte Problem, dass nach der Existenz von Singularitäten vom Nicht-Kollisionstyp für bestimmte fragt, ist dagegen wie erwähnt, durch Xia, bis auf gelöst.
Die quantenmechanische Version des Problems ist dagegen gelöst, da nach Tosio Kato (1951) die Schrödingergleichung mit Coulombpotential globale Lösungen besitzt. Simon erwähnt aber das wichtigste noch offene Probleme auf dem Gebiet von Lösbarkeitsfragen zur Schrödingergleichung, die Vermutung von Konrad Jörgens: Sei auf und eine endliche Vereinigung geschlossener Untermannigfaltigkeiten von . Weiter sei wesentlich selbstadjungiert auf (wobei die Menge glatter Funktionen mit kompaktem Träger) und von unten beschränkt ist. Dann ist wesentlich selbstadjungiert auf .
Problem 2: Ergodentheorie Die Ergodentheorie ist mit den Grundlagen der statistischen Mechanik verbunden. Im thermodynamischen Gleichgewicht hängen makroskopische Systeme nur von wenigen Parametern ab, was auf eine Gleichverteilung im Phasenraum deutet. Ein dazu untersuchtes Modell ist das Gas harter Kugeln, für das Jakow Sinai in den 1960er Jahren Ergodizität bewies.Simon bemängelt allerdings, dass kein strenger Beweis veröffentlicht wurde außer für Teilchen, und Beweisskizzen für .
Problem 2A: Man erweitere den Beweis von Sinai auf Soft Core Potentiale (stetige, repulsive Potentiale).
Für Potentiale mit anziehenden Komponenten könnte man die Annäherung an das Gleichgewicht nach Arthur Wightman dadurch erklären, dass nur ein Teil der Dynamik ergodisch ist, der im Grenzwert unendlichen Volumens (bei endlicher Teilchendichte) aber schließlich den ganzen Phasenraum ausfüllt.
Problem 2B: Man verifiziere das Szenario von Wightman für geeignete Potentiale oder zeige auf andere Weise die Annäherung an das Gleichgewicht.
Schließlich betrachtet Simon die Quantentheorie und gibt als Beispiel ein Problem über das quantenmechanische Heisenberg-Modell auf einem unendlichen Gitter. Man beweise (Problem 2C), dass dieses asymptotisch abelsch ist (oder widerlege das).
Problem 3: Langzeitverhalten dynamischer Systeme Man formuliere eine umfassende Theorie des Langzeitverhaltens dynamischer Systeme einschließlich der Entstehung von Turbulenz. Simon gibt selbst zu, dass die Formulierung sehr allgemein ist, begründet das aber mit der Wichtigkeit des Gebiets, das seiner Ansicht nach zu diesem Zeitpunkt (1984) noch nicht ein Stadium der Reife erlangt hatte, so dass noch nicht klar war, was die wirklich entscheidenden offenen Fragen sind. Weiter sah er zwar Fortschritte bei der Frage der Entstehung von Turbulenz (Jean-Pierre Eckmann, David Ruelle) nicht aber bei der Theorie voll ausgeprägter Turbulenz. Simon hielt auch die Verbindung zur Theorie der Navier-Stokes-Gleichungen zur Turbulenz für nicht genügend geklärt und die Theorie der Existenz von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichung für unbefriedigend. Das letztere Problem ist eines der Millennium-Probleme.
Problem 4: Transporttheorie Problem 4A: Simon fragt nach einem mechanischen Modell, in dem das Fouriersche Gesetz der Wärmeleitung auf mikroskopischer Grundlage folgt. Das System habe die Ausdehnung und die Temperaturdifferenz zwischen den Enden, dann sollte nach Fourier die Wärmeleistung sein für . Simon merkt an, dass dazu ein Mechanismus zur Diffusion aufgrund von Wechselwirkung der Teilchen untereinander vorliegen muss, da nicht wechselwirkende Teilchen keine Abhängigkeit der Wärmeleitung von zeigen (wenn man bei Erhöhung der Länge die Teilchenzahl erhöht, so dass die Dichte konstant bleibt). Das Problem ist offen.F. Bonetto, J.L. Lebowitz, L. Rey-Bellet: Fourier’s law, a challenge to theorists, Arxiv, 2000A. Dhar, Surprises in the theory of heat conduction, 2011 (PDF; 1,3 MB)
Problem 4B: Simon verlangt nach einer strengen Begründung der Kubo-Formel in der Quantenstatistik.
Problem 5: Heisenberg-Modell Betrachtet werden Modelle mit nächsten Nachbarn wechselwirkender Spins auf dem Gitter der Dimension , wobei der Spin auf der Einheitskugel im -dimensionalen Raum ist, was für dem Ising-Modell, dem XY-Modell (planarer Rotator) und dem Heisenberg-Modell entspricht. Ein weiterer Parameter in diesen Modellen der statistischen Mechanik ist die inverse Temperatur . Man sagt, das Modell habe langreichweitige Ordnung, falls der Erwartungswert . Das Verhalten der Modelle unterscheidet sich stark nach Raumdimension und Topologie des Spinraums (der im Ising-Modell zudem diskret ist, bei XY und Heisenberg-Modell kontinuierlich).
Ising-Modell (). Für gibt es langreichweitige Ordnung für genügend große (genügend tiefe Temperatur) nach Rudolf Peierls. Für gibt es keine langreichweitige Ordnung bei kontinuierlichen Symmetrien wie im Heisenberg-Modell (Mermin-Wagner-Theorem) Für existiert für und große eine langreichweitige Ordnung (Jürg Fröhlich, Thomas C. Spencer, B. Simon 1976).Fröhlich, Simon, Spencer, Infrared bounds, phase transitions and continuous symmetry breaking, Comm. Math. Phys., Band 50, 1976, S. 79–95, Online
Damit verbunden ist das Verhalten der Spin-Spin-Korrelationsfunktion für große Abstände : zerfällt die Funktion nach einem Potenzgesetz oder exponentiell ?. Für zeigten Fröhlich und Spencer, dass sie für große und zwei Dimensionen nur gemäß einem Potenzgesetz zerfällt. Für und zwei Dimensionen wird exponentieller Zerfall erwartet. Problem 5A: Es wird ein strenger Beweis im Fall (Heisenbergmodell) gefordert.
Weitere Probleme betreffen die Phasenstruktur im Heisenbergmodell. Problem 5B: Zu beweisen ist, dass die Gleichgewichts-Phasen für tiefe Temperaturen beim Heisenbergmodell durch einen einzigen Einheitsvektor beschrieben werden der zum Beispiel die Magnetisierungsrichtung angibt.
Problem 5C: Fordert einen Beweis der Griffiths-Kelly-Sherman (GKS) Ungleichungen im Heisenberg-Modell für Erwartungswerte von Produkten von Funktionen, die aus Spin-Spin-Korrelationsfunktionen aufgebaut sind. Für das Isingmodell wurde sie von Robert Griffiths (1967), D. J. Kelly und S. Sherman (1968) bewiesen, für wurde sie von Jean Ginibre 1970 bewiesen, der Fall ist offen.
Problem 5D: Betreffend die Quantenversion des Heisenbergmodells. Man beweise, dass diese für und genügend große eine langreichweitige Ordnung hat (und damit einen Phasenübergang).
Für das quantenmechanische Problem wurde die Existenz von Phasen langreichweitiger Ordnung für endliche Temperaturen und den Heisenberg Antiferromagneten (Spin 1, 3/2, …) mit Nächster-Nachbar-Wechselwirkung auf kubischem Gitter in drei und mehr Dimensionen von Freeman Dyson, Elliott Lieb und Barry Simon 1978 bewiesen (und für weitere Spinsysteme wie das XY-Modell mit Spin 1/2).Dyson, Lieb, Simon, Phase transition in quantum spin systems with isotropic and nonisotropic interactions, J. Stat. Phys. Band 18, 1978, S. 335 Offen blieben dabei der Spin-1/2 Fall beim Antiferromagneten und der Fall des Ferromagneten.Im Gegensatz zum klassischen Fall besteht im quantenmechanischen Fall mathematisch ein großer Unterschied zwischen Antiferromagnet und Ferromagnet. Zum Beispiel: , 1999 Für den Grundzustand () bewiesen E. Jordao Neves und J. Fernando Perez 1986 die Existenz langreichweitiger Ordnung für den zweidimensionalen Heisenberg-Antiferromagneten und Spin E. Jordao Neves, J. Fernando Perez, Long range order in the ground state of two dimensional Antiferromagnets, Phys. Lett. A, Band 114, 1986, S. 331–333 was von Tom Kennedy, S. Shastry und Elliott Lieb auf alle Dimensionen größer als zwei und alle Spins erweitert wurde.T. Kennedy, E. H. Lieb, S. Shastry, J. Stat. Phys., Band 53, 1988, S. 1019–1030 Offen blieb der Fall des Ferromagneten für endliche Temperatur und drei und mehr Dimensionen (Problem 5D) und der Fall des Antiferromagneten im Grundzustand für Spin 1/2 und zwei Dimensionen.
Simon führt noch sechs weitere Probleme zu Gittermodellen auf.
Problem 6: Ferromagnetismus Beim Ferromagnetismus besteht eine starke Tendenz der Elektronen ihren Spin parallel auszurichten, was nach Werner Heisenberg dadurch erklärt wird, dass wegen der Elektronenabstoßung die Ortswellenfunktion der Elektronen möglichst antisymmetrisch ist und nach dem Pauliprinzip deshalb die Spinwellenfunktion möglichst symmetrisch (parallele Spins). Simon stellt das Problem, diese Heisenbergsche Erklärung mathematisch in einem realistischen Modell zu untermauern. In einer Dimension hatten Elliott Lieb und Daniel Mattis 1962Lieb, Mattis, Theory of ferromagnetism and the ordering of electronic energy levels. In: Physical Review. Bd. 125, 1962, S. 164–172 gezeigt, dass so kein Ferromagnetismus entstehen kann (der Gesamtdrehimpuls des Grundzustands einer geraden Anzahl Elektronen ist in einer Dimension Null).
Problem 7: Phasenübergänge im Kontinuum