In der Mathematik ist der Begriff der mittelbaren Gruppenwirkung oder des mittelbaren G-Raums (engl. amenable action) besonders in der Theorie der Operatoralgebren von Bedeutung.
Definition Sei eine topologische Gruppe und ein messbarer G-Raum, d. h. ein Maßraum mit einer messbaren Gruppenwirkung. Ein invariantes Mittel auf ist ein lineares Funktional
mit und für , das invariant unter der Wirkung der Gruppe ist, für das also für alle und die durch definierte Funktion gilt.
Ein -Raum heißt mittelbar, wenn es ein invariantes Mittel gibt.
Beispiele Wenn eine mittelbare Gruppe ist, dann ist jeder -Raum mittelbar. Eine freie Wirkung einer Gruppe ist genau dann mittelbar, wenn mittelbar ist. Die Wirkung einer hyperbolischen Gruppe auf ihrem Rand im Unendlichen ist mittelbar. Seien und lokalkompakte Gruppen. Wenn eine mittelbare Gruppe ist, dann ist die Wirkung jeder diskreten Untergruppe auf mittelbar.
Literatur Robert Zimmer: Amenable ergodic Group actions and application to Poisson boundaries of random walks. J. Funct. Anal. 27 (1978), 350–372. C. Anantharaman-Delaroche, J. Renault: Amenable groupoids. Mit einem Vorwort von G. Skandalis und Anhang B von E. Germain. Monographies de L’Enseignement Mathématique 36, Genf 2000. N. P. Brown, N. Ozawa: C*-algebras and finite dimensional approximations. Graduate Studies in Mathematics, vol. 88, 2008.
Kategorie:Funktionalanalysis