Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.
Definition
Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Hierbei bestimmen die Parameter (minimaler Wert), (maximaler Wert) und (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung ( und ). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die -Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert .
325px|Plot of the Triangular PMF
Eigenschaften Verteilungsfunktion mini|Die Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion ist
Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet
Erwartungswert und Median Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable ist
Für ist der Median gegeben durch . Für diesen Fall ist der Median kleiner als der Erwartungswert; d. h. die Verteilung ist rechtsschief im Sinne von Pearson.
Varianz Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable ergibt sich zu
Beziehung zu anderen Verteilungen
Summe gleichverteilter Zufallsgrößen Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit , Standardabweichung , mittlerer absoluter Abweichung und Interquartilsabstand . Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit .
Trapezverteilung Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung.
Diskrete Dreiecksverteilung Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.
Literatur Norman L. Johnson, Samuel Kotz: Non-Smooth Sailing or Triangular Distributions Revisited after Some 50 Years. In: The Statistician, Vol. 48, No. 2 (1999), S. 179–187
Weblinks
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung