Als 3-Mannigfaltigkeit oder 3-dimensionale Mannigfaltigkeit werden in der Mathematik Räume bezeichnet, die lokal wie der 3-dimensionale euklidische Raum aussehen.
Beispiele Euklidischer Raum
Der euklidische Raum ist das einfachste Beispiel einer 3-Mannigfaltigkeit. Er ist nicht-kompakt und einfach zusammenhängend. Jede 3-Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zum .
Die euklidische Metrik auf dem ist eine flache Metrik, das heißt ihre Schnittkrümmung ist konstant Null. Es gibt aber zahlreiche andere riemannsche Metriken auf dem . Insbesondere ist der homöomorph zum hyperbolischen Raum, dessen Schnittkrümmung konstant −1 ist.
250px|mini|Die Hopf-Faserung von über : Punkte auf der 2-Sphäre haben dieselbe Farbe wie die über ihnen liegende Faser der 3-Sphäre.
3-Sphäre
Die 3-dimensionale Sphäre ist kompakt und einfach zusammenhängend. Die von Perelman bewiesene Poincaré-Vermutung besagt, dass sie die einzige einfach zusammenhängende, geschlossene Mannigfaltigkeit ist. Sie also die einfachste geschlossene 3-Mannigfaltigkeit.
Die Einbettung als Einheitssphäre in den stattet sie mit einer riemannschen Metrik aus, deren Schnittkrümmung konstant +1 ist.
SU(2)
Die Lie-Gruppe SU(2) ist diffeomorph zur 3-Sphäre.
ist eine zweifache Überlagerung von und insbesondere isomorph zur Spingruppe , die mithin ebenfalls zur diffeomorph ist.
Whitehead-Mannigfaltigkeit
Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist eine einfach zusammenhängende, nicht-kompakte 3-Mannigfaltigkeit, die nicht zum homöomorph ist, denn sie ist nicht „einfach zusammenhängend im Unendlichen“. Whitehead entdeckte sie als Gegenbeispiel zu einem Analogon der Poincaré-Vermutung für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten.
3-Torus
Den 3-dimensionalen Torus erhält man durch Identifizieren der gegenüberliegenden Seitenflächen eines Würfels, oder als Produktraum dreier Kreise.
Seine Fundamentalgruppe ist die freie abelsche Gruppe , seine universelle Überlagerung ist der .
Der 3-Torus trägt flache Metriken, d. h. riemannsche Metriken der Schnittkrümmung konstant Null. Jede solche Metrik erhält man durch eine Realisierung des 3-Torus als für ein Gitter . Der Modulraum solcher Gitter ist , der Modulraum der flachen Metriken ist .
Projektiver Raum
Der reell projektive Raum ist der Quotientenraum der Einheitssphäre bzgl. der Identifizierung für alle . Er hat demzufolge die Fundamentalgruppe , universelle Überlagerung , und er ist eine sphärische Mannigfaltigkeit, d. h. er trägt eine riemannsche Metrik der Schnittkrümmung konstant 1.
Die projektive lineare Gruppe wirkt auf .
SO(3)
Die Lie-Gruppe ist diffeomorph zum .
Poincaré-Homologiesphäre Die Poincaré-Homologiesphäre ist eine sphärische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe die Ordnung 120 hat. Ihre Homologiegruppen sind isomorph zu denen der .
Man konstruiert sie als Quotienten , wobei das Urbild der Gruppe A5 der orientierungserhaltenden Symmetrien des regelmäßigen Dodekaeders unter der zweifachen Überlagerung ist.
mini|Achterknoten mini|Whitehead-Verschlingung
Weeks-Mannigfaltigkeit Die Weeks-Mannigfaltigkeit ist die hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens.David Gabai, Robert Meyerhoff, Peter Milley: Minimum volume cusped hyperbolic three-manifolds. J. Amer. Math. Soc. 22 (2009), no. 4, 1157–1215. Man erhält sie durch (5,1)- und (5,2)-Dehn-Chirurgie an den beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung.
Gieseking-Mannigfaltigkeit Die Gieseking-Mannigfaltigkeit ist die Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens unter den nicht-kompakten, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten.Colin Adams: The Noncompact Hyperbolic 3-manifold of Minimum Volume, Proc. Amer. Math. Soc. 100 (1987), 601–606. Sie entsteht aus einem regulären idealen Tetraeder durch eine geeignete Identifizierung zweier Paare von Seitenflächen. Insbesondere hat sie das Volumen eines regulären idealen Tetraeders, also die Gieseking-Konstante 1,0149…
Achterknotenkomplement
Das Komplement des Achterknotens in der 3-Sphäre ist gemeinsam mit seiner durch (5,1)-Dehn-Chirurgie an einer der beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung konstruierten Schwestermannigfaltigkeit die Mannigfaltigkeit kleinsten hyperbolischen Volumens unter den orientierbaren, nicht-kompakten, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten.Chun Cao, Robert Meyerhoff: The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math. 146 (2001), no. 3, 451–478. Es ist eine 2-fache Überlagerung der Gieseking-Mannigfaltigkeit, sein Volumen also das Doppelte der Gieseking-Konstante.
Es ist ein Faserbündel über dem Kreis, dessen Faser ein punktierter Torus und dessen Monodromie Arnolds Katzenabbildung ist.
Komplement der Whitehead-Verschlingung Das Komplement der Whitehead-Verschlingung ist eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit zwei Spitzen. Ein Fundamentalbereich im hyperbolischen Raum ist der regelmäßige ideale Oktaeder. Das hyperbolische Volumen des Komplements der Whitehead-Verschlingung ist deshalb 3.663862377…, das Volumen des regelmäßigen idealen Oktaeders. Die Komplemente der Whitehead-Verschlingung und ihrer „Schwester“, der (-2,3,8)-Brezelverschlingung, sind die beiden orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten kleinsten Volumens, deren Rand aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht.Ian Agol: The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds. Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), no. 10, 3723–3732.
Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten Sphärische 3-Mannigfaltigkeit Eine sphärische 3-Mannigfaltigkeit ist eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant . Äquivalent ist sie von der Form , wobei die 3-Sphäre und eine diskrete Untergruppe ihrer Isometriegruppe ist. Man hat dann .
Wegen entsprechen die sphärischen 3-Mannigfaltigkeiten also eineindeutig den endlichen Untergruppen von .
Linsenraum
Linsenräume sind sphärische Mannigfaltigkeiten , bei denen die Fundamentalgruppe eine zyklische Gruppe ist.
Anders als für Haken-Mannigfaltigkeiten ist für Linsenräume durch die Fundamentalgruppe der Homöomorphietyp und selbst die Homotopieäquivalenzklasse noch nicht festgelegt. Reidemeister bewies mittels der später nach ihm benannten Reidemeister-Torsion, dass die homotopieäquivalenten Linsenräume und nicht homöomorph sind.Kurt Reidemeister: Homotopieringe und Linsenräume. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11 (1935), no. 1, 102–109.
Seifert-Faserung
Eine Seifert-Faserung ist eine 3-Mannigfaltigkeit, die sich in Fasern homöomorph zu zerlegen lässt, so dass jede Faser entweder eine Umgebung homöomorph zu (reguläre Faser) oder eine Umgebung homöomorph zum Abbildungstorus der Rotation der Kreisscheibe um den Winkel (singuläre Faser vom Typ ) besitzt.
Seifert-Faserungen sind die einfachsten Stücke in der JSJ-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten.
I-Bündel I-Bündel sind 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand, die ein Faserbündel mit Faser homöomorph zum Intervall über einer kompakten Fläche (evtl. mit Rand) sind. Sie kommen bei der JSJ-Zerlegung von Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand vor.
Graph-Mannigfaltigkeit Graph-Mannigfaltigkeiten wurden von Waldhausen ursprünglich definiert als 3-Mannigfaltigkeiten, die sich durch Aufschneiden entlang disjunkter, eingebetteter Tori in Kreisbündel zerlegen lassen. Eine äquivalente Bedingung ist, dass sie zusammenhängende Summe von 3-Mannigfaltigkeiten sind, die entweder Solv-Mannigfaltigkeiten sind oder in deren JSJ-Zerlegung nur Seifert-Faserungen vorkommen.
Hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit
Eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit ist eine vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant . Äquivalent ist sie von der Form , wobei der 3-dimensionale hyperbolische Raum und eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist. Man hat dann .
Wegen entsprechen die orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten eineindeutig den Konjugationsklassen diskreter Untergruppen von .
Der Hyperbolisierungssatz besagt, dass eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit genau dann hyperbolisch ist, wenn sie irreduzibel ist, unendliche Fundamentalgruppe und keine zu isomorphe Untergruppe in ihrer Fundamentalgruppe hat.
Haken-Mannigfaltigkeit
Eine Haken-Mannigfaltigkeit ist eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, die -irreduzibel ist und eine eigentlich eingebettete, zweiseitige inkompressible Fläche enthält.
Haken-Mannigfaltigkeiten besitzen Hierarchien inkompressibler Flächen, durch die sie sich in eine Vereinigung disjunkter 3-dimensionaler Vollkugeln zerlegen lassen. Das ermöglicht es, Beweise für Haken-Mannigfaltigkeiten als Induktionsbeweise über die Länge einer Haken-Hierarchie zu führen.
Gefaserte 3-Mannigfaltigkeit
Eine gefaserte 3-Mannigfaltigkeit ist eine 3-Mannigfaltigkeit der Form
für eine Fläche und einen Homöomorphismus .
Der Homöomoorphietyp von hängt nur von der Abbildungsklasse von ab. Eine 3-Mannigfaltigkeit kann auf unterschiedliche Weisen fasern.
Aus der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten folgt für Flächen vom Geschlecht : ist genau dann eine Seifert-Faserung, wenn die Abbildungsklasse von periodisch ist, hat genau dann eine nichttriviale JSJ-Zerlegung, wenn die Abbildungsklasse von reduzibel ist. ist genau dann hyperbolisch, wenn die Abbildungsklasse von pseudo-Anosovsch ist.
Falls die Faser eine Fläche vom Geschlecht , also ein Torus ist, erhält man im Fall, dass Anosovsch ist, eine Sol-Struktur auf .
Knotenkomplement
Ein Knotenkomplement ist der nach Entfernen eines Knotens aus der 3-Sphäre verbleibende Raum.
Zwei Knotenkomplemente sind genau dann homöomorph, wenn die Knoten äquivalent sind.Cameron Gordon, John Luecke: Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 371–415. Die entsprechende Aussage für Verschlingungen trifft nicht zu.
Aus der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten folgt: ein Knotenkomplement ist genau dann eine Seifert-Faserung, wenn der Knoten ein Torusknoten ist, ein Knotenkomplement hat genau dann eine nichttriviale JSJ-Zerlegung, wenn der Knoten ein Satellitenknoten ist, ein Knotenkomplement ist genau dann eine hyperbolische Mannigfaltigkeit, wenn keiner der anderen beiden Fälle zutrifft.
Konstruktionsprinzipien Heegaard-Zerlegung
Eine Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit besteht aus zwei Henkelkörpern und und einem Homöomorphismus , so dass aus und durch Verkleben mittels entsteht. Aus der Morse-Theorie folgt, dass jede geschlossene orientierbare 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung besitzt.
Dehn-Chirurgie
Die Dehn-Chirurgie ist ein Verfahren zur Konstruktion 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, indem aus der 3-dimensionalen Sphäre ein Knoten herausgebohrt und anders wieder eingeklebt wird.
Jede geschlossene, orientierbare, zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit kann durch Dehn-Chirurgie an einer Verschlingung in der 3-Sphäre konstruiert werden.
Triangulierung
mini|Pachner-Zug. Eine Triangulierung einer 3-Mannigfaltigkeit ist gegeben durch einen 3-dimensionalen Simplizialkomplex und einen Homöomorphismus
der geometrischen Realisierung auf .
Moise bewies 1952, dass alle 3-Mannigfaltigkeiten trianguliert werden können und dass für 3-Mannigfaltigkeiten die Hauptvermutung gilt: je zwei Triangulierungen derselben Mannigfaltigkeit besitzen eine gemeinsame Unterteilung. Insbesondere haben 3-Mannigfaltigkeiten eine eindeutige PL-Struktur.Edwin Moise: Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung. Ann. of Math. (2) 56, (1952). 96–114.
Je zwei unterschiedliche Triangulierungen derselben Mannigfaltigkeit lassen sich durch eine Folge von Pachner-Zügen ineinander überführen.Udo Pachner: Homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, European J. Combin. 12 (1991), 129–145.
Invarianten Fundamentalgruppe