Triangulierte Kategorie ist ein Begriff aus der homologischen Algebra. Triangulierte Kategorien bieten einen gemeinsamen Rahmen für derivierte Kategorien und für die stabilen Modulkategorien der Darstellungstheorie. Ursprünglich wurden sie durch Verdier eingeführt, um derivierte Funktoren der algebraischen Geometrie zu studieren.
Definition Eine triangulierte Kategorie besteht aus einer additiven Kategorie , einem additiven Funktor , der eine Äquivalenz von Kategorien ist, und einer Klasse von Tripeln von Morphismen in . Elemente dieser Klasse nennt man ausgezeichnete Tripel. Dabei verlangt man, dass die folgenden vier Axiome gelten: (TR1) Zu jedem Objekt aus ist das Tripel ausgezeichnet. Zu jedem Morphismus aus gibt es mindestens ein ausgezeichnetes Tripel der Form . Ein Tripel ist genau dann ausgezeichnet, wenn es zu einem ausgezeichneten Tripel isomorph ist. Das heißt: Ist das Diagramm320px|Axiom TR1ckommutativ, und sind die senkrechten Morphismen Isomorphismen, dann ist die untere Zeile genau dann ein ausgezeichnetes Tripel, wenn die obere Zeile ein ausgezeichnetes Tripel ist. (T2) Ist ausgezeichnet, dann ist auch ausgezeichnet. (TR3) Kommutiert das linke Quadrat im Diagramm320px|Axiom TR3und sind die beiden Zeilen ausgezeichnete Tripel, dann gibt es (mindestens) einen Morphismus derart, dass das ganze Diagramm kommutiert. (T4) Schwaches Oktaederaxiom Ist , dann gibt es ausgezeichnete Tripel , , und derart, dass das folgende „Zopfdiagramm“ kommutiert.347px|Das „Zopfdiagramm“ zum Oktaederaxiom
Beispiele Häufig definiert man die Klasse der ausgezeichneten Tripel, indem man eine Klasse von Standardtripeln beschreibt und dann definiert: Ein Tripel ist genau dann ausgezeichnet, wenn es zu einem Standardtripel isomorph ist. Sei eine abelsche Kategorie. Dann ist auch die Kategorie aller Kettenkomplexe in abelsch. Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie , indem man kettenhomotope Morphismen in miteinander identifiziert. Diese Kategorie ist selbst nicht abelsch, aber doch trianguliert, wobei: ist die Verschiebung , das heißt und . Die Standardtripel sind die Tripel der Form für jeden Morphismus aus , wobei der Abbildungskegel ist und , die entsprechenden Strukturabbildungen sind.
Literatur
Anmerkungen
Einzelnachweise
Kategorie:Homologische Algebra