Mathematische Demografie

Als Mathematische Demografie bezeichnet man das Teilgebiet der Demografie, das Zusammenhänge und Verfahren der Demografie mit mathematischen Mitteln analysiert und begründet. Dabei kommen u. a. mathematische demografische Modelle zur Anwendung.

Untersuchungsobjekte Die math. Demografie umfasst u. a. die Erstellung und Analyse von: math. Modellen zu Populationen, Sterblichkeits- und Fruchtbarkeitsraten, Abhängigkeiten des Zahlenverhältnisses Frauen zu Männern, verschiedene Typen von Instabilitäten einer Population. Weiterhin werden untersucht u. a.: Ansätze zur Stabilisierung einer Population, die demografische Theorie der Verwandtschaften, aber auch Micro-Demografie, z. B.: Geburtenraten – beeinflusst durch Verhütungsmittel, sowie die Familien-Demografie. Der Fokus liegt hierbei in der Untersuchung der inneren Zusammenhänge einer Population und weniger auf der Vorhersage einer Bevölkerungsentwicklung.

Beispiel 1: Berechnung der Reproduktionsrate für eine stationäre Bevölkerung Berechnet werden soll die angenäherte Zahl der Kinder pro Frau, mit denen eine Erhaltung der Bevölkerungsgröße in Form einer stationären Bevölkerung möglich ist. Die Berechnungen basieren auf Daten der USA insbesondere aus dem Jahr 1967.

Die relative Zahl der Geburten, bei der Mädchen zur Welt kommen ist: 0,488. Das bedeutet 48,8 % der Gesamtzahl der Geburten sind Mädchen, basierend auf Daten der USA aus dem Jahr 1967.Nathan Keyfitz, Hal Caswell: Applied Mathematical Demography., 3. Aufl. Springer Science+Business Media, 2005, ISBN 0-387-22537-4, S. 425f. (englisch) Im Falle von drei Kindern pro Mutter ergeben sich dann im Mittel: 3 · 0,488 = 1,464 Töchter pro Mutter. Nicht alle Töchter werden überleben, bis sie sich reproduzieren können. US-Daten aus dem Jahre 1967 ergeben hierbei den Faktor: 0,9665. Im Falle einer 3-Kind-Familie sind das also im Mittel 0,9665 · 1,464 = 0,9665 · (3 · 0,488) = R0 = 1,415 Töchter pro Frau, die ihre Fruchtbarkeitsphase erreichen. Ein unbekannter Anteil der Frauen kann oder will keine Kinder haben, nehmen wir hierfür an: 10 %. Dies ergibt dann 1,415 (Töchter pro Mutter) · 0,9 = 1,273 fruchtbare Töchter mit eigenem Kind, pro Frau.

Für den möglichen Fall von durchschnittlich zwei Kindern pro Mutter erhält man dann einen Wert von 2,0 · 0,488 · 0,9665 · 0,9 = R2,0 = 0,849 als Reproduktionsrate bzw. Ersetzungsfaktor pro Generation (= Töchter mit Kind, pro Mutter). Unter Berücksichtigung einer Generationendauer von 26,14 Jahren (US-Daten für 1967) ergibt sich mit der 26,14ten-Wurzel (26,14 Jahre jeweils der gleiche Faktor r pro Jahr: und man erhält weiter: ) der Ersetzungsfaktor von r = 0,9938 pro Jahr für den Fall von durchschnittlich 2,0 Kindern pro Mutter. Dies entspricht einer Verringerung der Bevölkerung von 0,62 % pro Jahr. Die biologische Halbwertzeit der betroffenen Population liegt dann bei 111 Jahren.

Für den Fall von drei Kindern pro Mutter lässt sich die folgende Gesamtgleichung schreiben:

(1) ,

mit R als Reproduktionsrate „fruchtbare Töchter mit eigenem Kind, pro Mutter“. Man erhält für diesen Fall nun: R = 1,273 Töchter mit Kind, pro Mutter. Daraus ergibt sich wiederum ein jährliches Wachstum der Bevölkerung von 0,93 % bei einer mittleren Generationendauer von 26,14 Jahren. Daraus errechnet sich ein Faktor 16 für die neue US-Bevölkerungsgröße in etwas weniger als dreihundert Jahren.

Um die Bevölkerung als stationär erhalten zu können, setzen wir R = Rstationär = 1 (Töchter mit Kind, pro Mutter). Gesucht wird nun der mittlere Wert x1 Kinder pro Frau, um folgende Gleichung zu erfüllen:

(2) .

Man erhält: x1 = 2,36 Kinder pro fruchtbare Frau, in diesem Fall (die mittlere endgültige Zahl): Kinder pro Mutter. Der größte Unsicherheitsfaktor hierbei ist die Annahme der 10 % Frauen, die keine Kinder bekommen können oder wollen, siehe obiger Punkt 3.

Mit aktuellen US-Sterberaten und durchschnittlich drei Kindern pro Mutter würde man in dreihundert Jahren eine US-Bevölkerungsgröße von mehr als drei Milliarden Einwohnern erhalten. Was wir benötigen ist jedoch nur ein Mittelwert von 2,36 Kindern pro Mutter, so der Autor (siehe Quelle, S. 426, ca. Zeile 16).

Der oft genannte Wert von 2,1 Kinder pro Frau steht damit in Zusammenhang, und er lässt sich wie folgt berechnen.

Man erhält aus x2 · 0,488 · 0,9665 = Rstationär = 1 den Wert x2 = 2,12.

Dieser Wert „2,12 Kinder pro Frau“ beschreibt die mittlere endgültige Kinderzahl pro Frau – einschließlich der Frauen, die lebenslang ohne eigene Kinder bleiben – unter Berücksichtigung von US-Daten aus dem Jahr 1967.

Diese Zahlen zeigen, dass der Mittelwert feinjustiert werden muss; auch kleine Abweichungen können über eine lange Zeit zu intolerablen Abweichungen nach oben oder unten führen, so der Autor (S. 426, ca. Zeile 26).

Beispiel 2: Ansätze zur Stabilisierung einer Bevölkerungsgröße Auf die theoretische Möglichkeit eines Gleichgewichtsmechanismus für die Größe einer Bevölkerung hat Frisch (1972) hingewiesen.R. E. Frisch: Weight at menarche: Similarity for well-nourished and undernourished girls at differing ages, and evidence for historical constancy. In: Pediatrice. Band 50, 1972, S. 445–450; Quellenangabe aus „Keyfitz/Caswell“ entnommen. Unterernährte Frauen erreichen die Fruchtbarkeitsphase später und die Menopause früher im Vergleich zu gut ernährten Frauen. Abhängig von der z. B. natürlich bedingten Verfügbarkeit von Nahrung besteht mit diesem Mechanismus die Möglichkeit zur Erhöhung oder Verringerung von Geburtenraten. Jedoch eignet sich dieser Ansatz nicht, um Kurzzeitfluktuationen der Bevölkerungsgröße auszugleichen (Keyfitz/Caswell, S. 427, Zeile 10).

In einer anderen Theorie ergibt sich ein weiterer Ansatz für einen Mechanismus zum Stabilisieren der Bevölkerungsgröße durch eine gesetzliche Anpassung des Mindestheiratsalters. Der Autor der Quelle argumentiert, dass durch dieses gesetzliche Mindestheiratsalter effektiv der jeweilige Teil der Fruchtbarkeitskurve unterhalb des spezifizierten Alters eliminiert wird (Keyfitz/Caswell,Nathan Keyfitz, Hal Caswell: Applied Mathematical Demography. 3. Auflage. Springer Science+Business Media, 2005, ISBN 0-387-22537-4, S. 504. (englisch) S. 504, Zeile 4). Im Beispiel von Indien errechnen sich dabei für das Jahr 1961 mit 18,14 Millionen Geburten ganze 3,24 Millionen Geburten bzw. 18 % der Geburten von Müttern unterhalb von 20 Jahren.Nathan Keyfitz, Wilhelm Flieger: World Population: An Analysis of Vital Data. The University Press, Chicago, Illinois, USA 1968, S. 659. Zur Beurteilung der Wirksamkeit einer solchen Anpassung des gesetzlichen Mindestheiratsalters weist der Autor auf die theoretische Möglichkeit hin, dass die ggf. von einer Familie fest gewünschte Kinderzahl dann zwar nicht im persönlichen angedachten Zeitraum umgesetzt werden könnte, aber dennoch mit nur wenigen Jahren Zeitverzögerung.

Ob sich bei festem Mindestheiratsalter bereits ein stabilisierender Mechanismus unter Anwendung einer solchen Fruchtbarkeitskurve ergibt, in dem praktischerweise direkt derjenige, der vom (zumindest in Deutschland durch Abs. 1 des Grundgesetzes besonders geschützten) Familiengeschehen ablenkt, auch zeitgleich, zur Kompensation, in zulässiger Weise hinreichend umfangreich auf bzw. über existierende rechtsgültige Ehe-Gesetze u. a. zum Mindestheiratsalter (z. B. 18 Jahre in der Schweiz,Schweiz Art 94 ZGB, A. Ehefähigkeit, zgb.gesetzestext.ch, abgerufen am 10. Januar 2018. Österreich: ehemündig mit 16 J und darunter (minderjährig) auf Antrag,Österreich: ehemündig mit 16 J und darunter (minderjährig) auf Antrag, sonst 18 J, help.gv.at, abgerufen am 15. Januar 2018. sonst 18 J) + in (a) größerem oder (b) kleinerem Umfang hinweist und aufklärt, bzw. aufklären muss, ist in Quelle bisher nicht auffindbar. Der Umfang dieser Aufklärung über die Möglichkeiten einer Ehe (ab z. B. 16 Jahre, also bereits während des Schulzeit) wäre dann der mögliche Steuerungsparameter zum Stabilisieren einer Bevölkerungsgröße.

Beispiel 3: Markow-Ketten für individuelle Lebensabläufe Die QuelleNathan Keyfitz, Hal Caswell: Applied Mathematical Demography. 3. Auflage. Springer Science+Business Media, 2005, ISBN 0-387-22537-4, S. 245ff. (englisch) beschreibt einen Lebenszyklus, den ein Individuum durchläuft, von Geburt bis zum Tode, mittels eines mathematischen Modells. Ein solcher Lebenszyklus ist gekennzeichnet u. a. durch verschiedene Ereignisse, die sich dann auch im Modell widerspiegeln können. Einige dieser Ereignisse wie Paarung und Reproduktion sind optional (S. 245, Zeilen 5–6), aber auch Heirat fällt darunter. Andere, wie der Tod, sind unvermeidlich. Ein Ansatz diese Informationen zu handhaben, besteht in der Verwendung von Matrix-Modellen bzw. Markow-Ketten. Diese können die zu beschreibenden Zustände in formal-mathematischer Darstellung beinhalten, aber eben auch die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen diesen Zuständen untereinander.

Lebenszyklus-Graph für einen altersklassifizierenden Lebenszyklus mini|hochkant=1.8|Abb. 1: Einfaches Modell eines Lebenszyklus-Graphen für einen altersklassifizierenden Lebenszyklus. Die mathematischen Zustände werden vereinfacht durch ‚1‘, ‚2‘ und ‚3‘ wiedergegeben. In diesem Modell beschreiben P1 und P2 die Übergangswahrscheinlichkeiten in den jeweiligen Folgezustand, sowie F2 und F3 die entsprechenden Reproduktionswahrscheinlichkeiten. Zur Konstruktion eines Matrix-Populations-Modells eignet sich ein sog. Lebenszyklus-Graph. Als Beispiel sei hier ein vereinfachtes Modell erwähnt: ein Lebenszyklus-Graph für einen altersklassifizierenden Lebenszyklus.

Die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen aus dem Modell können mit folgender zunächst allgemeiner Gleichung erfasst werden (S. 69):

(3)

Hierbei stellt A die Populations-Projektions-Matrix dar und wird im Falle von altersklassifizierenden Lebenszyklus-Modellen auch als Leslie-Matrix bezeichnet. Der Vektor beschreibt die Zustandshäufigkeits-Verteilung und wird auch Populations-Vektor genannt. Der Zeitunterschied wird hierbei als Projektionsintervall bezeichnet.

Entsprechend dem Lebenszyklus-Graphen aus Abb. 1 lassen sich die Elemente der Matrix A und die Elemente des Populations-Vektors wie folgt in die Gleichung (3) einfügen: (4)

Die Matrix A enthält die skalaren Elemente für die Reproduktionswahrscheinlichkeiten (F von ‚fertility‘) und für die Wahrscheinlichkeiten des Übergangs in den nächsten Zustand. Der Populations-Vektor enthält die Zustandshäufigkeits-Verteilung als Spalten-Vektor mit den skalaren Elementen für die gilt: , und die im exemplarisch genannten Modell mit drei Zuständen bei Bedarf normiert sein können auf:

Nach Ausführung der Matrix-Multiplikation (Matrix mal Vektor) erhält man dann nach dem vorgesehenen ersten Projektionsintervall folgendes Ergebnis für den Populations-Vektor: (5) Dieses zunächst formale Ergebnis kann man in der Abb. 1 verifizieren durch die jeweiligen Ergebnisse ‚am Ende der Pfeile‘: die Übergangswahrscheinlichkeit () multipliziert mit der zugehörigen Populationsgröße im jeweiligen Ausgangszustand 1, 2 oder 3. Durch Mehrfach-Ausführung eines solchen Projektionsschrittes, also eine Mehrfach-Ausführung der Matrix-Multiplikation und unter Verwendung konkreter Zahlenwerte, lässt sich nun die Entwicklung des Populations-Vektors über eine Vielzahl von Projektionsschritten im Rahmen des mathematischen Modells verfolgen bzw. voraussagen. Die Populations-Matrix A aus Gleichung (3) mit ihren Elementen kann hierbei im Modell konstant sein, sie kann aber auch variieren. Wenn sie variiert, dann kann sie von externen Faktoren z. B. dem Wetter, oder auch von internen Zuständen der Population selbst abhängen. Weiterhin können zufällige oder deterministische Effekte auftreten, und das Verhalten kann periodisch oder aperiodisch sein.

Lebenszyklus-Graph für einen größenklassifizierenden Lebenszyklus