Gleichung von Euler-Fuß

Eines der vielen Resultate von Leonhard Euler in der elementaren Vierecksgeometrie steht im Zusammenhang mit dem Problem, wann in der euklidischen Ebene zu zwei gegebenen ineinanderliegenden Kreisen ein konvexes Viereck existiert, welches sowohl Sehnenviereck des größeren Kreises als auch Tangentenviereck des kleineren Kreises ist. Euler hat dazu eine Gleichung gefunden, welche eng verwandt ist mit der in seinem Satz über den Abstand von Um- und Inkreismittelpunkt eines ebenen Dreiecks. Die erste veröffentlichte Darstellung und Herleitung der Gleichung hat Eulers Sekretär Nikolaus Fuß im Jahre 1798 geliefert.Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. 1916 (Nachdruck 1971, 2004), S. 44 ffMax Simon: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. 1906, S. 108Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. 1979, S. 71–72, 115

Darstellung der Gleichung mini|hochkant=1.3|Gleichung von Euler-Fuß liefert konvexes Viereck Zu der Euler-Fuß'schen Gleichung gilt der folgende Lehrsatz, welcher den zugehörigen Satz von Fuss und dessen Umkehrung in sich vereinigt:Julian Lowell Coolidge: op. cit. S. 46 ff, 117–118 Gegeben seien zwei positive Zahlen und sowie zwei Kreise und der euklidischen Ebene , wobei den Radius und den Radius habe. Dabei liege die Kreisscheibe von innerhalb der Kreisscheibe von und es sei . Der Abstand der beiden Kreismittelpunkte sei . Dann gilt: Dann und nur dann existiert in der euklidischen Ebene ein konvexes Viereck mit als Inkreis und als Umkreis, wenn die Gleichung

erfüllt ist.

Anmerkungen In Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen wird die Euler-Fuß'sche Gleichung auch unter dem Stichwort Fuß' Vierecksformel genannt. Dörrie gibt dort – unter Verwendung anderer Parameter – die folgende gleichwertige Gleichung an:Dörrie, op. cit., S. 522

Ein konvexes Viereck, welches sowohl einen Umkreis als auch einen Inkreis besitzt, nennt man Heinrich Dörrie zufolge auch ein bizentrisches Viereck. Heinrich Dörrie verweist in seinem Triumph der Mathematik darauf, dass Nikolaus Fuß ebenso die entsprechenden Formeln für das bizentrische Fünfeck, Sechseck, Siebeneck und Achteck gefunden hat.Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 1958, S. 196

Quellen und Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Vierecksgeometrie Euler-Fuss, Gleichung von Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber