mini|Das Titelblatt der Begriffsschrift
Die Begriffsschrift ist ein schmales, nur etwa achtzig Seiten umfassendes Buch des Jenaer Mathematikers und Philosophen Gottlob Frege zur Logik. Es wurde 1879 mit dem Untertitel „Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens“ veröffentlicht und gilt allgemein als die wichtigste Veröffentlichung im Bereich der Logik seit Aristoteles’ Organon.Höffe: Kleine Geschichte der Philosophie. S. 318.
Frege gelang in diesem Buch zum ersten Mal eine Formalisierung der klassischen Prädikatenlogik und damit die erste Formalisierung einer Logik, in der sich ein hinreichend großer Teil der Mathematik, aber auch der natürlichen Sprache ausdrücken ließ. Gemeinsam mit George Booles Mathematical Analysis of Logic von 1847 markiert die Begriffsschrift deshalb den Beginn der modernen formalen Logik.Dale Jaquette, Introduction: Philosophy of Logic Today. Seite 3 in D. Jaquette (Hrsg.), Philosophy of Logic (Handbook of the Philosophy of Science). Elsevier 2007. Online-Veröffentlichung: Science Direct (Zugriff 5 Juli 2024). Die Bezeichnung Begriffsschrift wird auch für den von Frege definierten logischen Kalkül sowie für Freges logische Notation verwendet. Frege entwarf die Begriffsschrift zur Unterstützung seiner Forschung an den Grundlagen der Mathematik.
Freges Kalkül führte erstmals den Allquantor sowie mehrstellige Prädikate (Relationen) ein. Es handelt sich um einen klassischen prädikatenlogischen Kalkül zweiter Stufe mit Identität, allerdings in einer im Vergleich zu heute üblichen Schreibweisen eigenwilligen, zweidimensionalen Notation.
Stellung der Begriffsschrift im Gesamtwerk Freges Trotz ihrer epochalen Bedeutung ist die Begriffsschrift nicht Freges Hauptwerk. Ihr folgten 1884 Die Grundlagen der Arithmetik sowie 1893 und 1903 die beiden Bände der Grundgesetze der Arithmetik, die auch aufgrund ihres Umfangs als Freges Hauptwerk gelten können. mini|Frege um 1880, etwa zur Zeit der Publikation der Begriffsschrift Freges Motivation: Freges vorrangiges Ziel war es, die Mathematik als Teil der Logik auszuweisen, also zu zeigen, dass alle mathematischen Sätze aus wenigen rein logischen Axiomen abgeleitet werden können (vgl. Logizismus). Dieses Unternehmen wäre nur aussichtsreich, wenn eine ‹Formelsprache des reinen Denkens› zur Verfügung steht, mit dem sich die ‹Lückenlosigkeit einer Schlusskette› zweifelsfrei überprüfen ließe, und das (wie Frege sagt) nur mit dem ‹begrifflichen Inhalt› des jeweiligen Satzes, ‹ohne Anschauliches›, was ‹von der besonderen Beschaffenheit der Dinge unabhängig› bestehe.So Frege in seinem Vorwort, S. IV, und in § 3 der Begriffsschrift. Dieses Instrument, ein ‹zweckdienliches Werkzeug zur Untersuchung beliebiger sprachlicher Ausdrucksformen›,Siehe Frege: Begriffsschrift (1879), S. VI/VII sowie §6, S. 9 f. soll die Begriffsschrift darstellen. Die so verstandene Zweckmäßigkeit, zu dem Ziel einer umfassenden Reduktion der Arithmetik auf die Formen von ‹Denkgesetzen›, erzwingt, so Freges bleibende Grundüberzeugung, das ‹Gebot der Übersichtlichkeit›, und dazu gehört die Minimierung logischer Schlussweisen und Operatoren bei größtmöglicher Ausdrucksstärke, um so dem rein ‹begrifflichen Inhalt› den nötigen Platz zu geben.Siehe Frege: Begriffsschrift (1879), Vorwort S. IV; § 6, S. 9 und Frege (1882), S. 54 f.Siehe auch Gabriel (2001), hier in der Literatur: Seite 31. In seiner nachträglichen Rechtfertigung hebt Frege genau diesen Punkt als entscheidende Neuerung, auch gegenüber traditionellen Logiksystemen, hervor.
Für Frege war die Begriffsschrift demnach nur die erste Etappe auf dem Weg zu einer vollständigen Formalisierung der Mathematik, die er in den Grundgesetzen der Arithmetik für die Zahlentheorie teilweise durchführte. Freges logizistisches Programm scheiterte zunächst (noch vor dem Erscheinen des zweiten Bandes der Grundgesetze) an der Russellschen Antinomie, es wurde aber von Bertrand Russell, Rudolf Carnap und anderen fortgeführt.
Die Begriffsschrift war jedoch keineswegs ausschließlich für den Einsatz in der Mathematik vorgesehen. Im Gegenteil stellte Frege seine Schrift im Vorwort ausdrücklich in den Kontext der Leibnizschen Idee einer lingua characterica universalis, einer Universalsprache, die ein geordnetes System aller Begriffe nach mathematischem Vorbild darstellen sollte.Vgl. Sluga: „Frege against the Booleans“Vgl. Volker Peckhaus: Logik, Mathesis universalis und allgemeine Wissenschaft, Berlin 1997, ISBN 978-3-05-003111-8Vgl. Tapio Korte: „Frege’s Begriffsschrift as a lingua characteristica“.Eine überaus kritische Skizze der Überlegungen zu einer solchen Universalsprache findet sich im Artikel „Universalsprache“ in: Fritz Mauthner: Wörterbuch der Philosophie, zweite, vermehrte Auflage, Leipzig 1923. (online)Vgl. den Artikel „Charakteristica universalis“ in: Friedrich Kirchner/Carl Michaëlis: Wörterbuch der Philosophischen Grundbegriffe, 5. Aufl. Leipzig 1907, 116–117. (online) Freges 1879 vorgelegte Schrift sollte das logische Herzstück einer solchen Universalsprache bilden.
Es ist zu vermuten, dass die Bezeichnung Begriffsschrift aus einer Abhandlung Friedrich Adolf TrendelenburgsAdolf Trendelenburg: „Über Leibnizens Entwurf einer allgemeinen Charakteristik,“ in: Philosophische Abhandlungen der königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1856, Berlin 1857, 36–69; Nachdruck in: ders.: Historische Beiträge zur Philosophie, Bd. 3: Vermischte Abhandlungen, Berlin 1867, 48–62. über Leibniz’ Entwurf dieser Universalsprache entlehnt ist, die Frege im Vorwort zitiert. Im Übrigen war das Wort „Begriffsschrift“ um die Wende zum 20. Jahrhundert als Eindeutschung von „Ideographie“ allgemein gebräuchlich.Siehe z. B. das Stichwort „Ideographie“ in Brockhaus' Kleinem Konversations-Lexikon, 5. Aufl. 1911. (online)
Notation mini|Die Einführung der logischen Symbole in der Begriffsschrift.Zum Öffnen bitte auf die Vorschau klicken. Frege verwendete in der Begriffsschrift eine eigens von ihm geschaffene Schreibweise (Notation) für Ausdrücke der Aussagen- und Prädikatenlogik. Die Notation der Begriffsschrift ist eine graphische, zweidimensionale Darstellung, in der Formeln durch waagerechte und senkrechte Striche miteinander verbunden werden. Sie verwendet als aussagenlogische Grundelemente Zeichen für die Negation und das Konditional, als prädikatenlogisches Element den Allquantor. Wie erst sehr viel später die – allerdings lineare, eindimensionale und daher wesentlich platzsparendere – polnische Notation kommt die Begriffsschriftnotation ohne Klammerungen aus.
Syntax Die Begriffsschrift kennt nur zwei syntaktische Grundelemente: Funktionsausdrücke und Eigennamen, wobei beide auch durch Variablen vertreten werden können. Alle syntaktischen Operationen folgen dem Schema Funktion – Argument – Wert: Durch Anwendung einer Funktion mit n freien Stellen auf n Argumente erhält man einen bestimmten Wert der Funktion.
Näheres zum Funktionsbegriff: Wenn man beispielsweise in dem komplexen Ausdruck '1 × 1' beide Vorkommnisse des Zahlzeichens '1' durch die Variablen 'n' bzw. 'm' ersetzt, so erhält man den Funktionsausdruck 'n × m'. Die Variablen machen deutlich, dass der Ausdruck „ungesättigt“ ist, wie Frege sagt: Er bezeichnet in dieser Form keinen Gegenstand, sondern bedarf der Vervollständigung durch zwei Argumente. Durch erneute Substitution von Zahlzeichen für die Variablen erhält man eine Reihe von arithmetischen Termen, z. B. '1 × 1', '1 × 2', '2 × 1' usw. Die verschiedenen möglichen Einsetzungen für die Variablen sind Argumentausdrücke. Das durch den komplexen Ausdruck Bezeichnete ist der Wert der Funktion. Der Wert der Funktion n × m für die Argumente 2 und 3 ist beispielsweise die Zahl 6.
Dieses Grundschema ist in seiner Anwendbarkeit keineswegs auf den Bereich der Mathematik beschränkt: Ersetzt man beispielsweise in 'der Eroberer von x' die Variable 'x' durch 'Gallien', so nimmt die Funktion den Wert Julius Cäsar an.Vgl. dazu auch Frege: Funktion und Begriff. Auch Prädikate sind nach Frege Funktionen: Die durch 'x eroberte Gallien' ausgedrückte Funktion nimmt für das Argument Julius Cäsar den Wert Wahr an, für das Argument Hannibal den Wert Falsch. Die Ersetzung der Subjekt-Prädikat-Form durch die Funktion-Argument-Form des Urteils war bereits ein erheblicher Fortschritt gegenüber der traditionellen Logik, weil sie es ermöglicht, eine Logik der Relationen zu formulieren: Die moderne Logik kennt (anders als die Syllogistik) auch zwei- und mehrstellige Prädikate (Relationsausdrücke), wie 'x liebt y', 'x steht zwischen y und z' usw. (Siehe auch Logik – Klassische Logik.)
Wahrheitsfunktionalität Frege fasste nun alle zusammengesetzten Ausdrücke als Ergebnisse der Anwendung einer Funktion auf Argumente auf; insbesondere behandelte er auch diejenigen Ausdrücke als Funktionsausdrücke, die heute allgemein als Junktoren bekannt sind. Ihre Argumente sind Aussagen, als Werte ergeben sich die Wahrheitswerte Wahr und Falsch, die bei Frege „das Wahre“ und „das Falsche“ heißen. Um die Bedeutung eines Junktors anzugeben, genügt es, festzulegen, unter welchen Bedingungen eine Aussage mit diesem Junktor wahr bzw. falsch wird. Heute wird dieser Zusammenhang als Wahrheitsfunktionalität bezeichnet, und man gibt die Wahrheitsbedingungen meist in Form sogenannter Wahrheitstabellen an. Die Wahrheitsfunktionalität ist eine wesentliche Voraussetzung für die Aufstellung einer extensionalen Semantik, wie sie Alfred Tarski in den 1930er Jahren entwickelte.
Inhaltsstrich und Urteilsstrich Der waagerechte „Inhaltsstrich“ besagt in der Begriffsschrift, dass das, was auf ihn folgt, ein (auf Wahrheit oder Falschheit hin) „beurtheilbarer Inhalt“ ist, in moderner Terminologie eine Aussage, die wahr oder falsch sein kann. Durch den Inhaltsstrich wird nicht über den Wahrheitsgehalt einer Aussage befunden; sie wird nicht behauptet, sondern nur als potenziell wahr oder falsch gleichsam „in den Raum gestellt“: rahmenlos|60px Wohlgemerkt wäre eine absurd erscheinende Verbindung wie „— 2“ in der Begriffsschrift nicht syntaxwidrig; ihr Wert wäre das Falsche. Das hängt damit zusammen, dass Freges Begriffsschrift eine reine Termlogik ist; auch Aussagen sind singuläre Terme, gewissermaßen verschiedene Bezeichnungen für die beiden Wahrheitswerte.
Der senkrechte „Urteilsstrich“ vor dem Inhaltsstrich besagt, dass der Inhalt wahr ist: rahmenlos|60px Frege sagte dazu, der Inhalt werde mit „behauptender Kraft“ geäußert.
Junktoren mini|Begriffsschriftnotation: Aussagenlogik Frege verwendete von den heute üblichen fünf Junktoren 'nicht', 'und', 'oder', 'wenn – dann', 'genau dann, wenn' nur zwei: 'nicht' (Negation) und 'wenn – dann' (Implikation oder Konditional). Die Negation wird durch Anfügen eines kleinen senkrechten Striches an den Inhaltsstrich dargestellt. Die Negation „nicht A“ () wird folgendermaßen ausgedrückt: 60px|framesess Der Wert dieser Funktion ist genau dann das Wahre, wenn der Wahrheitswert von '— A' nicht das Wahre ist, andernfalls das Falsche.
Die Implikation (lies: 'wenn B, dann A') wird in der Begriffsschrift durch 60px|framesess ausgedrückt. Zur Bedeutung dieser Zeichenverbindung schrieb Frege:
Dies sind in heute ungewohnt erscheinender Formulierung die Wahrheitsbedingungen der materialen Implikation: Die Implikation ist nur dann falsch, wenn das Antezedens wahr und das Sukzedens falsch ist.
Disjunktion ('oder') und Konjunktion ('und') lassen sich durch Verbindungen dieser beiden Junktoren ausdrücken: die Disjunktion wird durch rahmenlos|60px – – ausgedrückt, die Konjunktion durch rahmenlos|60px – . Da Freges Logik eine Termlogik ist, in der auch Aussagen singuläre Terme sind, dient das „Zeichen der Inhaltsgleichheit“ (Identitätszeichen) zugleich als Ausdruck der materialen Äquivalenz.
Quantoren mini|Begriffsschriftnotation: Prädikatenlogik