Das Heston-Modell ist ein auf Steven Heston zurückgehendes mathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen. Im Gegensatz zum älteren Black-Scholes-Modell erlaubt das Heston-Modell, eine stochastische Volatilität anzunehmen. Es handelt sich demnach um ein stochastisches Volatilitätsmodell.
Definition Seien zwei Wienerprozesse mit und Zinsrate . Der Preisprozess folge der Dynamik wobei die Volatilität durch
mit Startbedingung und Parametern gegeben ist.
Eigenschaften Üblicherweise sind die treibenden Rauschgrößen und negativ korreliert, also , was dem Hebeleffekt entspricht. Das entspricht der Beobachtung, dass die Volatilität üblicherweise niedriger ist bei steigenden Kursen und größer bei fallenden (Verkaufspanik).
Die Dynamik der Volatilität entspricht einem Wurzeldiffusionsprozess und nach einem Satz von Yamada und Watanabe existiert eine starke Lösung der stochastischen Differentialgleichung des Wurzeldiffusionsprozesses, die sich als Funktional des Wienerprozesses formulieren lässt. Dieses Funktional entspricht dem Vega. Insbesondere ist diese Lösung nicht-negativ. Damit die Lösung nicht vorhersagbar wird, muss sie sogar strikt positiv sein, wofür die Feller-Bedingung erfüllt werde:
Satz. Setze . Wenn , dann gilt fast sicher.
Der Wurzeldiffusionsprozess erfüllt im deterministischen Teil den Effekt der Mittelwertrückkehr, wobei die Intensität und den langzeitlichen Mittelwert darstellen. Der Faktor wird auch die "Volatilität der Volatilität" () genannt.
Satz. Ist , dann ist in Verteilung für unabhängige Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Dynamik und Startbedingung .
Siehe auch
SABR-Modell
Literatur Steven L. Heston: A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 1993 (6), 2, S. 327–343.
Kategorie:Finanzmathematik Kategorie:Optionsgeschäft Kategorie:Ökonomisches Modell