Die derivierte Kategorie einer abelschen Kategorie ist ein wichtiges Objekt in der modernen homologischen Algebra. Sie wurde durch Grothendiecks Student Verdier eingeführt.
Quasiisomorphismus Zuerst bildet man die abelsche Kategorie aller Kettenkomplexe in . Ein Kettenhomomorphismus in heißt ein Quasiisomorphismus, falls er unter Homologie zu einem Isomorphismus wird, das heißt falls ein Isomorphismus ist für jede ganze Zahl .
Homotopie-Kategorie Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie , indem man kettenhomotope Morphismen in miteinander identifiziert. ist eine triangulierte Kategorie.
Derivierte Kategorie Analog zur Lokalisierung bildet man die derivierte Kategorie aus , indem man sämtliche Quasiisomorphismen für invertierbar erklärt.
Mengentheoretisches Problem Seien zwei Objekte aus . In ist die Gesamtheit aller Morphismen von nach nicht immer eine Menge.Für ein Beispiel von Freyd, siehe Die wichtigsten Arbeiten halten dieses Problem für unwesentlich.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Homologische Algebra