mini|Empirische Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Stichprobe vom Umfang n=100 Der Satz von Gliwenko-Cantelli oder Satz von Gliwenko, auch Hauptsatz der mathematischen Statistik oder Fundamentalsatz der Statistik genannt, , ist ein mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher auf zwei Arbeiten der beiden Mathematiker Waleri Iwanowitsch Gliwenko und Francesco Cantelli aus dem Jahre 1933 zurückgeht. Aus dem Satz geht hervor, dass bei unabhängig durchgeführten Zufallsversuchen die aus den Zufallsstichproben gewonnenen empirischen Verteilungsfunktionen einer Zufallsgröße gleichmäßig mit Wahrscheinlichkeit Eins gegen deren tatsächliche Verteilungsfunktion konvergieren und dass dadurch die Möglichkeit der Schätzung dieser Verteilungsfunktion gegeben ist.
Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich angeben wie folgt:Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1980, S. 456 ffP. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 145B. W. Gnedenko: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1980, S. 185 ffAchim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 117 ffNorbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 262 ffKlaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 353 ffWalter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1970, S. 318 ff
Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum
und darauf eine Folge
von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion .
Die zum Stichprobenumfang gehörige empirische Verteilungsfunktion ist
mit .Mit werde die charakteristische Funktion bezeichnet.
Hierzu hat man auf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum die Zufallsvariable
mit ,Dabei steht für das Supremum.
welche die obere Grenze aller Abstände dieser empirischen Verteilung von der gemeinsamen Verteilung unter Berücksichtigung alle nur möglichen Ausprägungen angibt.
Dann gilt: Die Folge konvergiert mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, gegen Null. Es gilt also .
Anmerkungen Der Satz ergibt sich als Anwendung des kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen. Er ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert und abgewandelt worden. Einen Eindruck davon gibt die Arbeit des dänischen Mathematikers Flemming Topsøe aus dem Jahre 1970.Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. in: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 14 , S. 239 ff
Quellen und Hintergrundliteratur Originalarbeiten
Monographien MR2247694 MR1796326
MR0501219
MR0534143 MR0651017
MR3289985 MR0286145
Einzelnachweise
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung Kategorie:Schätztheorie Gliwenko-Cantelli, Satz von