mini|400px|Abb. 1: Die Raumzeit der Born-Koordinaten im Minkowski-Raum (Zylinderkoordinaten). Die roten Linien ( | ) sind die Weltlinien der ruhenden Punkte auf der rotierenden Scheibe. Die wechselnden grauen und blauen Streifen zeigen Flächen mit konstanter Zeit . Die orangefarbenen Linien (/ \) zeigen lichtartige Kurven mit konstanten und . Die Born-Koordinaten beschreiben in der relativistischen Physik eine Karte für einen Teil des flachen Minkowski-Raumes der speziellen Relativitätstheorie, den räumlichen Zylinder mit Das entsprechende Linienelement mit der Signatur , also den natürlichen Einheiten und der Winkelgeschwindigkeit ist
Die Born-Koordinaten werden für die mathematische Analyse der Physik von sogenannten Langevin-Beobachtern benutzt, die auf einem Ring mit konstantem Abstand zum Drehmittelpunkt rotierender starrer Scheiben ruhen (siehe Ehrenfestsches Paradoxon). Die erstmalige Beschreibung dieser Koordinaten erfolgte im Zusammenhang mit Max Borns (1909) relativistischer Physik der starren Körper, die für rotierende Körper unter anderem von Gustav Herglotz (1909) weiterentwickelt wurde.Siehe den englischen Artikel Born rigidity Für einen allgemeinen Überblick zu Beschleunigungen in der Minkowski-Raumzeit, siehe Beschleunigung (Spezielle Relativitätstheorie).
Uhrensynchronisation und Abstandsmessung mini|rechts|400px|Abb. 2: Die Animation zeigt die Synchronisation der Uhren bei , und auf dem Ring mit dem Radius und etwa 62 % der Lichtgeschwindigkeit auf einer rotierenden Scheibe mit der zentralen Uhr im Rotationsmittelpunkt als Referenz. Die so synchronisierten Uhren , , und zeigen die Koordinatenzeit des Inertialsystems im Minkowskiraum, in dem die Drehachse der Scheibe ruht. Die gepunkteten Linien zeigen den Weg der Lichtstrahlen (Nullgeodäten) im Inertialsystem. Die farbigen Linien die entsprechenden Nullgeodäten im Bezugssystem der rotierenden Scheibe. Die grünen Linien sind die auslaufenden radialen Nullgeodäten. Sie sind in Drehrichtung gebogen. Die blauen Linien sind die einlaufenden radialen Nullgedäten. Sie sind gegen die Drehrichtung gebogen. Zu beachten ist, dass auslaufende und einlaufende radiale Nullgedäten nicht den gleichen Weg nehmen. Die violette Kurve zeigt die nach außen gebogene Nullgedäte von nach , die rote Kurve, die nach innen gebogene Nullgeodäte von nach . Die bei und gleichzeitig (bezüglich des Inertialsystems) abgesendeten Lichtstrahlen kommen nicht gleichzeitig beim Langevin-Beobachter in an. Für diesen sind die Uhren und nicht synchron. Ideale ruhende Uhren auf der rotierenden Scheibe lassen sich nicht widerspruchsfrei synchronisieren. Nicht auf einem Ring mit konstantem Durchmesser auf dem die Uhren zumindest gleich schnell laufen, schon gar nicht auf der ganzen Scheibe, auf der die Uhren, je weiter sie von der Drehachse entfernt sind, um den Faktor langsamer laufen (Zeitdilatation). Das heißt, dass die Uhren entlang eines Radius mit nicht gleich schnell laufen, sondern im Vergleich mit einer Referenzuhr im Drehmittelpunkt mit wachsendem langsamer werden.
Da die Born-Koordinaten einen Teil des flachen Minkowski-Raums beschreiben, lassen sich die Uhren wie dort synchronisieren, indem die Uhr im Drehmittelpunkt (Uhr im Rotationszentrum) als Referenz dient und z. B. im Sekundentakt ein Lichtsignal aussendet, mit dem alle Uhren auf der rotierenden Scheibe synchronisiert werden (siehe Abb. 2). Die Empfängeruhren , und kennen die jeweilige Laufzeit des Signals vom Drehmittelpunkt und justieren ihre Uhrzeit entsprechend. Das heißt, dass alle Beobachter, die sich auf der Drehachse befinden, Lichtsignale, die von den Uhren auf der Scheibe im Sekundentakt abgesendet werden, im Sekundentakt empfangen werden. Werden die Signale von Uhren auf einem Ring mit konstantem Radius gesendet, werden sie darüber hinaus gleichzeitig empfangen. Solcherart synchronisiert, sind die Uhren in , , und synchron mit der Koordinatenzeit des Inertialsystems, in dem die Drehachse der rotierenden Scheibe ruht.Dabei handelt es sich um eine externe Synchronisation. Eine Konsequenz dieser Methode ist, dass für die Uhr im Drehmittelpunkt die Sekunde der Uhren auf der Scheibe identisch ist mit ihrer eigenen Sekunde.
Für den Langevin-Beobachter (Uhr ) ist die Situation jedoch nicht zufriedenstellend. Für ihn ergeben sich zwei Probleme. Erstens läuft seine so synchronisierte Uhr zu schnell im Vergleich zu einer Uhr, die er auf die Standard-SI-Sekunde geeicht hat. Zweitens macht er die irritierende Feststellung, dass zwei Lichtsignale, die von den beiden gleich weit entfernten Uhren und auf seinem Ring gleichzeitig ausgesendet werden, nicht gleichzeitig bei ihm eintreffen. Da er weiß, dass die Uhren und gleich weit von seiner Uhr entfernt sind, gibt es nur zwei Möglichkeiten. Entweder ist die Lichtausbreitung nicht isotrop – Licht von in Drehrichtung ist früher bei ihm (die Geschwindigkeit des Lichts wäre daher schneller als ), als Licht von entgegen der Drehrichtung (die Geschwindigkeit des Lichts wäre daher langsamer als ). Oder die Uhren und sind mit seiner Uhr nicht synchron.
Um sie aus seiner Sicht zu synchronisieren, geht er wie im Inertialsystem vor. Er eicht die Uhren in , und auf die SI-Sekunde und synchronisiert die Uhren und mit seiner Uhr mittels Einstein-Synchronisation (eine interne Synchronisation). Er stellt fest, dass er die Uhr , die in Drehrichtung liegt, zurückstellen muss und die Uhr , die entgegen der Drehrichtung liegt, vorstellen muss. Zwei Lichtsignale, die jetzt gleichzeitig von und ausgesendet werden, treffen gleichzeitig bei ein (sie treffen aber nicht gleichzeitig bei der Uhr ein). Synchronisiert man alle Uhren entlang des Ringes auf diese Art und Weise, ergibt sich neuerlich ein Problem. Zumindest zwei benachbarte Uhren zeigen nicht die gleiche Zeit. In Summe weisen die Uhren entlang des Rings mit dem Radius r eine Zeitdifferenz auf.
Außerdem stellt der Langevin-Beobachter fest, dass, egal wie er die Distanzen seiner lokalen Umgebung vermisst, die Geometrie nicht-euklidisch ist und am besten durch eine Riemannsche Metrik, die sogenannte Langevin-Landau-Lifschitz Metrik beschrieben wird. Diese Metrik wiederum wird sehr gut durch die Metrik der hyperbolischen Ebene angenähert. Bei der Vermessung großer Distanzen über die lokale Umgebung hinaus hängen die Ergebnisse von der Messmethode ab, die sich nicht mit den Eigenschaften einer Riemann Metrik beschreiben lassen. Die mit der Radarmethode gemessenen großen Distanzen sind nicht einmal symmetrisch. Die gemessene Entfernung von nach ist nicht gleich der gemessenen Entfernung von nach . Das heißt, dass die Geometrie der rotierenden Scheibe weder eine euklidische noch eine riemannsche Geometrie ist.
Die rotierende Scheibe ist kein Paradoxon. Egal welche Methode der Langevin-Beobachter verwendet, um seine lokale Umgebung zu analysieren: Er stellt fest, dass er sich in einem rotierenden Bezugssystem befindet und nicht in einem Inertialsystem.
Langevin-Beobachter in Zylinderkoordinaten Für die Herleitung der Born-Koordinaten ist es sinnvoll, die Langevin-Beobachter zuerst in Zylinderkoordinaten darzustellen. Ihre Weltlinien bilden eine zeitartige Kongruenz, die als starr angesehen werden kann, da der entsprechende Expansionstensor verschwindet (siehe unten). Die Langevin-Beobachter rotieren um die Symmetrieachse des Zylinders.
mini|400px|rechts|Abb. 3: Darstellung der wendelförmigen Weltlinie eines Langevin-Beobachters in Zylinderkoordinaten (rote Kurve). Ebenfalls dargestellt sind die Zukunftslichtkegel (goldfarben) und die Tetraden (Basisvektoren) der lokalen Bezugssysteme (schwarze Vektoren). Der graue Zylinder ist eine Fläche mit konstantem und die grüne strichlierte Linie ist die Symmetrieachse (Drehachse) bei . Die blaue Kurve ist eine integrale Kurve des azimutalen Vektors . Die -Koordinate ist für diese Darstellung unwesentlich und wird weggelassen.
Aus dem Linienelement des Minkowskiraumes in Zylinderkoordinaten
können unmittelbar die Tetraden (Vektorfelder der Basisvektoren) des lokalen Bezugssystems für stationäre Beobachter abgelesen werden:
ist ein zeitartiges Vektorfeld. , und sind raumartige Vektorfelder.
Mit einem Lorentz-Boost der Vektorfelder der Basisvektoren mit in Richtung (Anwendung der Lorentz-Transformation auf und ) ergeben sich die Vektorfelder der Basisvektoren für die Langevin-Beobachter mit
Diese Vektorfelder wurden erstmals (implizit) von Paul Langevin 1935 verwendet. Eine ausführliche Beschreibung erfolgte durch Thomas A. Weber erst 1997. Definiert sind diese Vektorfelder im Gegensatz zu den Zylinderkoordinaten mit im Bereich . Diese Einschränkung ist fundamental, da sich die Geschwindigkeit der Langevin-Beobachter nahe der Grenze der Lichtgeschwindigkeit nähert.
mini|rechts|400px|Abb. 4: Darstellung der Weltlinien (strichlierte blaue Kurven) der zu einem bestimmten Langevin-Beobachter (rote wendelförmige Kurve) benachbarten Beobachter. Aus der Sicht eines bestimmten Langevin-Beobachters. Die cyanfarbene Kurve stellt die Bewegung des radialen Vektorfeldes (des radialen Basisvektors) für ein Viertel einer vollen Umdrehung um die Drehachse (grüne Kurve) dar. Jede integrale Kurve des zeitartigen Vektorfeldes wird in Zylinderkoordinaten als wendelförmige Kurve mit konstantem Radius abgebildet (siehe die rote Kurven in Abb. 1 und Abb. 3) und repräsentiert einen in Bezug auf die rotierende Scheibe ruhenden Langevin-Beobachter. Weitere Langevin-Beobachter, die sich mit dem ersten auf einem Ring mit dem Radius und der Winkelgeschwindigkeit befinden, sollten auf der integralen Kurve des Vektorfeldes (siehe die blaue Kurve in Abb. 3) gleichzeitig (synchron) sein. Jedoch zeigt sich, dass sich ideale Uhren entlang der blauen Kurve mittels Einstein-Synchronisation nicht synchronisieren lassen, da sich die blaue Kurve an unterschiedlichen Stellen mit der roten Kurve schneidet. Zumindest zwei benachbarte Uhren zeigen unterschiedliche Zeiten, da die blaue Kurve gleichzeitig ist, zwei unterschiedliche Stellen auf der roten Kurve aber einen zeitlichen Abstand haben – die blaue Kurve ist keine geschlossene Kurve in der Raumzeit und die benachbarten Uhren sie sind nicht synchron. Das ist der erste Hinweis darauf, dass sich für die rotierende Scheibe keine zufriedenstellende Beschreibung einer räumlichen Geometrie finden lässt, auf der alle Ereignisse gleichzeitig sind. Weder für die ganze rotierende Scheibe, noch für einen rotierenden Ring mit Radius .
Im Gegensatz dazu, ist die Projektion der wendelförmigen Weltlinie eines Langevin-Beobachters auf die räumliche Hyperebene ein Kreis – also eine geschlossene Kurve in der Raumzeit. Darüber hinaus ist das Vektorfeld der Basisvektoren ein raumartiges Killingvektorfeld, dessen integrale Kurven geschlossene Kurven im Raum sind (de-facto Kreise). Sie degenerieren für zu Kurven mit der Länge Null. Das entspricht der Vorstellung der zylindrischen Symmetrie und der Vorstellung eines rotierenden Langevin-Beobachters. Diese Vorstellung basierend auf lässt sich jedoch nicht realisieren, da die idealen Uhren auf dem Ring nicht widerspruchsfrei synchronisiert werden können und damit (Gleichzeitigkeit) keinen Sinn ergibt, wenn keine eindeutige Synchronisation der Uhren möglich ist.
Die Viererbeschleunigung des zeitartigen Vektorfeldes ist
Sie zeigt radial zur Drehachse und hängt nur vom konstanten Radius und der konstanten Winkelgeschwindigkeit der wendelförmigen Weltlinie des Langevin-Beobachters ab (Zentripetalbeschleunigung). Mit der kinematischen Dekomposition (siehe Viererbeschleunigung oben) ergeben sich der Expansionstensor und der Wirbelvektor.Der Wirbeltensor ist ein schiefsymmetrischer Tensor mit drei Dimensionen, der als dreidimensionaler Vektor (Wirbelvektor) dargestellt werden kann. Der Expansionstensor ist Null. Das heißt, dass die Abstände der Langevin-Beobachter zueinander und zur Drehachse konstant bleiben (starren Scheibe). Der Wirbelvektor ergibt sich mit