Der Separabilitätssatz von Marczewski (W. W. Comfort: A short proof of Marczewski's separability theorem. Amer. Math. Monthly 76, S. 1041 ff) – auch als Satz von MarczewskiJ. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 157 bezeichnet – ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie. Er geht auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Edward Marczewski aus den Jahren 1947 zurück und behandelt das Problem der Separabilität des Produkts gewisser topologischer Räume.J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 157
Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:Stephen Willard: General Topology. 1978, S. 109 Gegeben sei eine nichtleere Familie von Hausdorffräumen, welche allesamt aus zwei oder mehr Elementen bestehen sollen, und es sei
deren topologisches Produkt. Dann gilt: Der Produktraum ist separabel genau dann, wenn jeder der Räume separabel ist und wenn darüber hinaus die Indexmenge höchstens die Mächtigkeit des Kontinuums hat.
Verwandter Satz Ein dem Separabilitätssatz von Marczewski eng verwandter Satz ist der folgende, der von manchen Autoren Satz von Hewitt–Marczewski–Pondiczery () genannt wird:A. A. Gryzlov: On dense subsets of Tychonoff products. Topology Appl. 170, S. 86 ff Ist eine unendliche Kardinalzahl und ist das Produkt von topologischen Räumen und enthalten diese Räume allesamt dichte Teilmengen, deren Mächtigkeit höchstens ist, so umfasst der Produktraum seinerseits eine dichte Teilmenge, deren Mächtigkeit höchstens ist.
Anmerkung zur Namensgebung Kenneth Allen Ross und Arthur Harold Stone rechnen den Separabilitätssatz dem US-amerikanischen Mathematiker Ralph Boas zu, in dessen Arbeit aus dem Jahre 1944 – die Boas unter dem Pseudonym E. S. Pondiczery veröffentlichte – dieses Resultat auch enthalten ist.K. A. Ross, A. H. Stone: Products of separable spaces. Amer. Math. Monthly 71, S. 399
Literatur
Siehe auch Link zu Hewitt-Marczewski-Pondiczery theorem (planetmath.org)
Einzelnachweise
Marczewski, Separabilitatssatz von