Das Kräftesystem (auch Kraftsystem oder Kraft-/Kräftegruppe) ist ein Begriff aus der Mechanik, der ein System von mechanischen Wechselwirkungen zwischen Körpern bezeichnet. Bei der Analyse von Kräftesystemen kann es darum gehen, unbekannte Kräfte im System zu berechnen, das Kräftesystem in ein einfacheres, gleichwertiges zu überführen, was weitere Analysen erleichtert, oder die durch die Kräfte bewirkten Beschleunigungen der beteiligten Körper zu ermitteln. Die Analyse allgemeiner Kräftesysteme ist ohne den Begriff des Drehmoments nicht möglich.
Im Maschinenbau und in der Baustatik ist die Kenntnis der Belastungen für die Dimensionierung von Objekten unabdingbar. Zur Auslegung von Fahrwerken beispielsweise werden die Kräftesysteme in den verschiedenen Bewegungszuständen durch Mehrkörpersimulation berechnet, was dann die fahrdynamischen Eigenschaften und die Belastungen des Fahrwerks zu bewerten gestattet.
Innere, äußere und Reaktionskräfte mini|Abb. 1: Freischnitt (rot) eines am Hang (grau) fahrenden Autos (blau) Kräfte sind nach dem Prinzip Actio und Reactio immer Wechselwirkungen zwischen Körpern, in Abb. 1 zwischen Hang und Auto. Übt ein Körper auf den anderen eine Kraft aus, dann tut dies der andere auch auf ersteren:
Beide Kräfte haben dieselbe Wirkungslinie und sind entgegengesetzt gleich groß. Kräfte können bei Kontakt oder berührungslos durch Massenanziehung und Magnetismus ausgeübt werden. Die Kräfte zwischen zum System gehörenden Körpern werden innere Kräfte genannt und heben sich in der Summe sämtlich gegenseitig auf. Daneben gibt es Wechselwirkungen zwischen Körpern, die zum System gehören, und solchen, die nicht zum System gehören. Dies sind von außen angreifende oder äußere Kräfte und sie treten im System immer nur einfach auf, beispielsweise als Zwangskraft oder eingeprägte Kraft.
Körper können durch die Kraftwirkung ihren Bewegungszustand ändern und/oder sich verformen. Zur Ermittlung der Kräfte wird der Körper aus seiner Umgebung freigeschnitten. Die Schnittführung muss immer am Originalsystem erfolgen und so wie in Abb. 1 geschlossen sein.
Definition, Lageplan und Kräfteplan mini|Abb. 2: a: Lageplan für ein bergauf fahrendes Auto (grau) mit äußeren Kräften (rot) und Maßen (blau), b: Kräfteplan Da Kräfte auch Drehmomente verursachen, ist ein Kräftesystem erst durch Angabe aller (n) Kräfte zusammen mit ihren Kraftangriffspunkten eindeutig festgelegt:
Im maßstäblichen Lageplan werden die Kräfte so eingezeichnet, wie sie im System angreifen, siehe Abb. 2. Der Lageplan entspricht einem maßstäblichen Freikörperbild des Systems. Im Kräfteplan werden die Kräfte mittels eines Maßstabs mit der Dimension Länge pro Krafteinheit graphisch zum Kräftepolygon zusammengesetzt. Die im Kräfteplan ermittelte resultierende Kraft wird in den Lageplan übertragen. Weil diese im Bild hangaufwärts weist, wird das Auto beschleunigen.
Grundaufgaben der Statik Die Grundaufgaben der Statik sind die Reduktion auf eine resultierende Kraft und ein resultierendes Moment, Bestimmung des Gleichgewichts von Kräftesystemen und die Zerlegung einer Kraft.
Bei der Reduktion geht es darum, ein Kräftesystem rechnerisch oder graphisch zu vereinfachen. Es zeigt sich, dass jedes Kräftesystem in seiner Wirkung auf einen starren Körper äquivalent ist zu einer resultierenden Kraft mit einem bestimmten Angriffspunkt und einem resultierenden Moment:
Die resultierende Kraft und das resultierende Moment bilden zusammen die Dyname.
Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn er in Ruhe verharrt oder seinen Bewegungszustand beibehält, was Bedingungen an das an ihm angreifende Kräftesystem stellt: In einem Gleichgewichtssystem verschwinden die resultierende Kraft und das resultierende Moment. Früher wurde dies erster und zweiter Hauptsatz der Statik starrer Körper genannt. Ein Kräftesystem, das einen Körper im Gleichgewicht belässt, ist ein „Gleichgewichtssystem“ oder eine „Gleichgewichtsgruppe.“ Solche Systeme ändern das Gleichgewicht oder die Wirkung des Kräftesystems auf einen starren Körper nicht und dürfen entsprechend zu einem Kräftesystem hinzugefügt oder aus ihm entfernt werden.
Die Zerlegung von Kräften ist der umgekehrte Vorgang zur Bestimmung der Resultierenden. Eine Kraft wird zerlegt in Komponenten, deren Resultierende die Kraft selbst ist. Praktisch ist die Zerlegung in paarweise zueinander senkrechte Komponenten, was analytisch auf die Darstellung des Kraftvektors bezüglich einer Orthonormalbasis hinaus läuft.
mini|Abb. 3: Für das Gleichgewicht sind beide auf den blauen Drahtbügel wirkenden Kräfte (rot) gleichbedeutend, nicht so für die Deformation Nur für die Analyse der Wirkung auf starre Körper oder Gleichgewichtsbetrachtungen an deformierbaren Körpern dürfen Kräfte gedanklich hinzugefügt, abgezogen oder verschoben werden. Wenn die Schnittreaktionen und die Deformation von Körpern aufgrund der eingeprägten Kräfte interessieren, dann dürfen die Kräfte nicht verändert werden, siehe Abb. 3. Nur das Zerlegen in Komponenten oder das Zusammenfassen in einem Punkt angreifender Kräfte zu einer Resultierenden, siehe unten, ist immer statthaft.
Statische Äquivalenz
Zwei Kräftesysteme, die an einem Starrkörper angreifen, sind statisch äquivalent, wenn sie bei beliebigen Starrkörperbewegungen der Kraftangriffspunkte die gleiche Leistung erbringen. Die Leistungen einer Kraft und eines Moments sind:
Darin ist die Geschwindigkeit des Kraftangriffspunkts am Starrkörper und die Winkelgeschwindigkeit des Starrkörpers. Die Idee hinter dieser Definition ist, dass wenn sich ein ruhender Körper irgendwie in Bewegung setzt, beispielsweise weil ein Lager versagt, an ihn angreifende Kräftesysteme statisch äquivalent sind, wenn jedes System bei jeder solchen hypothetischen Bewegung dieselbe Energie pro Zeitspanne (Leistung) in den Körper einbringt. Die in der Technik weit verbreitete Annahme kleiner Verformungen eines Körpers beinhaltet, dass seine Bewegungen zumindest anfänglich Starrkörperbewegungen sind.
Es zeigt sich: Zwei Kräftesysteme sind genau dann statisch äquivalent, wenn ihre resultierende Kraft und ihr resultierendes Moment bezüglich eines beliebigen Bezugspunkts gleich sind.
Analytisch heißt das, dass die Kräftesysteme
genau dann statisch äquivalent sind, wenn für jeden Bezugspunkt gilt:
Früher wurde dies dritter Hauptsatz der Statik starrer Körper genannt.
Bearbeitung von Kräftesystemen Mit den in diesem Abschnitt vorgestellten anschaulichen Verfahren können Kräftesysteme graphisch in andere besser überblickbare Kräftesysteme überführt werden.
Einzelkraft
Eine Einzelkraft ist das denkbar einfachste Kräftesystem, das aus einer Kraft mit Betrag und Richtung und dem Kraftangriffspunkt besteht. Der Angriffspunkt und die Richtung der Kraft bestimmt ihre Wirkungslinie, auf der die Kraft verschoben werden kann, ohne dass sich ihre Wirkung auf einen Starrkörper ändern würde. Die Kraft ist damit ein gebundener Vektor.
Kräfteparallelogramm
mini|Abb. 4: Kräfteparallelogramm aus zwei Kräften (grün und blau) und ihrer Resultierenden (rot) Zwei am selben Punkt angreifende Kräfte können durch eine Resultierende ersetzt werden, siehe Abb. 4. Die Kräfte bilden zwei Seiten eines Parallelogramms (gelblich) und die resultierende Kraft ist die Diagonale des Parallelogramms (rot). Diese graphische Konstruktion entspricht analytisch der Addition der die Kräfte repräsentierenden Vektoren.
Der umgekehrte Weg wird bei der Zerlegung einer Kraft in Komponenten beschritten, die parallel zu einer gewählten Vektorraumbasis wirken und die in der Summe die Kraft selbst ergeben. Die Komponenten der Kraft sind dann analytisch die Komponenten ihres Vektors bezüglich der gewählten Basis.
Ungleiche, parallele Kräfte Auch zwei auf verschiedenen aber parallelen Wirkungslinien arbeitende Kräfte, die nicht entgegengesetzt gleich groß sind, können in ihrer Wirkung auf einen Starrkörper durch eine Resultierende ersetzt werden, siehe Abb. 5.
mini|400px|zentriert|Abb. 5: Konstruktion der Resultierenden (c, grün) zu zwei ungleichen, parallelen Kräften (a, schwarz) mit Hilfe einer Nullkraft (b, blau)
Dazu wird eine Gleichgewichtsgruppe aus zwei sich auslöschenden, entgegengesetzt gleich großen Kräften mit identischer Wirkungslinie hinzugefügt (blau in Abb.5b). Die Resultierenden aus den ursprünglichen Kräften und je einer der hinzugefügten bilden ein zentrales Kräftesystem (rot) und können durch die Resultierende im Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien ersetzt werden (grün in Abb. 5c).
Kräftepaar und Drehmoment
mini|Abb. 6: Zwei Kräftepaare (blau und schwarz) entsprechen einem resultierenden Kräftepaar (rot) Ein Kräftepaar ist ein Kräftesystem, das aus zwei entgegengesetzt gleich großen Kräften besteht, deren Wirkungslinien gemäß dem Schema
in einem Abstand parallel verlaufen. Die Summe der beiden Kräfte ist zwar der Nullvektor, aber die Kräfte bewirken ein Moment , das senkrecht zu der Ebene, die von den beiden Wirkungslinien definiert wird, arbeitet und betraglich gleich dem Produkt aus dem Abstand zwischen den Wirkungslinien und einer der Kräfte ist:
.
Ein Kräftepaar ist in seiner Wirkung auf einen Starrkörper zu diesem Moment gleichwertig. Das Kräftepaar ist nicht durch eine resultierende Kraft ersetzbar. Das Kräftepaar hat das Bestreben einen Körper zu drehen und ist daher kein Gleichgewichtssystem.
Wie bei Kräften kann, wie in Abb. 6 angedeutet, auch ein resultierendes Kräftepaar konstruiert werden, indem aus den Partnern (schwarz und blau) die Resultierenden (rot) bestimmt werden, die das resultierende Kräftepaar bilden. Diese Tatsache wird Momentensatz oder erster Varignon’scher Satz von Pierre de Varignon genannt.
Ein Kräftepaar kann frei im Raum verschoben werden, ohne dass sich seine Wirkung auf einen Starrkörper ändern würde, siehe Abb. 7.
mini|zentriert|500px|Abb. 7: Ein Kräftepaar (schwarz) kann beliebig im Raum parallel verschoben werden.
Dazu wird am Kräftepaar (schwarz in Abb. 7a,b) eine Gleichgewichtsgruppe (blau in Abb. 7b) angetragen. Die Resultierenden (rot in Abb. 7b) können entlang ihrer Wirkungslinien (gestrichelt in Abb. 7b,c) verschoben werden. Zerlegung der Resultierenden in eine Gleichgewichtsgruppe (blau in Abb. 7c) und das verschobene Kräftepaar (schwarz in Abb. 7cd) zeigt, dass die Kräftesysteme in Abb. 7a und d äquivalent sind. Mit dem Kräftepaar ist auch das entsprechende Drehmoment frei verschiebbar, was auch zweiter Varignon’scher Satz genannt wird. Der Angriffspunkt kann bei Drehmomenten frei gewählt werden, sie sind freie Vektoren.
Versetzungs- oder Versatzmoment Eine Kraft darf entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich dabei ihre Wirkung auf einen starren Körper ändern würde. Bei der Parallelverschiebung quer zur Wirkungslinie entsteht ein Versetzungs- oder Versatzmoment, siehe Abb. 8.
mini|zentriert|400px|Abb. 8:Eine Einzelkraft (a, schwarz) ist äquivalent zu einer versetzten Kraft (c, grün) und einem Versetzungsmoment (c, rot).
Durch Hinzufügung eines Gleichgewichtssystems aus Kraft und entgegengesetzt gleich großer, auslöschender Kraft (blau in Abb. 8b) entsteht ein gleichwertiges System aus der versetzten Kraft (grün in Abb. 8c) mit Versetzungsmoment (rot in Abb. 8c).
Kraftschraube oder -winder
Mit Hilfe des Versatzmoments kann ein Kräftesystem aus einer Kraft und einem beliebigen Moment überführt werden in ein statisch äquivalentes Kräftesystem aus einer betraglich gleichen, parallelverschobenen Kraft und einem Moment , das zur Kraft parallel ist, siehe Abb. 9.
mini|zentriert|600px|Abb. 9: Aus beliebiger Kraft und Moment wird eine versetzte Kraft und ein dazu paralleles Moment. Genaue Beschreibung erfolgt im Text.