Erzeugendensystem

Ein Erzeugendensystem ist in der Mathematik eine Teilmenge der Grundmenge einer mathematischen Struktur, aus der durch Anwendung der verfügbaren Operationen jedes Element der gesamten Menge dargestellt werden kann. Speziell heißt das im Fall von Vektorräumen, dass jeder Vektor als Linearkombination von Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden kann. Im Fall von Gruppen bedeutet dies, dass jedes Gruppenelement als Produkt aus Elementen des Erzeugendensystems und deren Inversen dargestellt werden kann. Es gibt den Begriff des Erzeugendensystems aber auch für weitere algebraische Strukturen, wie Moduln und Ringe, und auch für nichtalgebraische Strukturen, wie topologische Räume.

Erzeugendensysteme einer vorgegebenen mathematischen Struktur sind in der Regel nicht eindeutig bestimmt. Die Existenz eines Erzeugendensystems ist hingegen meist leicht zu zeigen, da oft die Grundmenge selbst als Erzeugendensystem gewählt werden kann. Häufig wird daher versucht, ein minimales Erzeugendensystem zu finden. Dies ist jedoch nicht immer möglich und allgemeine Existenzbeweise für minimale Erzeugendensysteme machen nicht selten vom Zornschen Lemma Gebrauch (siehe beispielsweise die Existenz einer Basis in Vektorräumen).

Allgemein lässt sich auch die von einer beliebigen Teilmenge erzeugte Unterstruktur einer mathematischen Struktur betrachten. Diese Unterstruktur wird Erzeugnis dieser Teilmenge genannt und die Teilmenge selbst heißt dann erzeugende Menge oder Erzeuger der Unterstruktur. So ist jeder Untervektorraum das Erzeugnis einer erzeugenden Menge von Vektoren (nämlich gerade die lineare Hülle dieser Vektoren) und jede Untergruppe das Erzeugnis einer erzeugenden Menge von Gruppenelementen.

Erzeugendensysteme in der linearen Algebra Definition Ist ein Vektorraum über einem Körper , dann heißt eine Menge Erzeugendensystem von , falls jeder Vektor aus als Linearkombination von Vektoren aus darstellbar ist. Jeder Vektor besitzt demnach eine Zerlegung der Form

mit , und . Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Ein Vektorraum heißt endlich erzeugt, wenn er ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Vektoren besitzt.

Beispiele Koordinatenraum mini|Standardbasisvektoren in der euklidischen Ebene mini|Zwei unterschiedliche Erzeugendensysteme: der Vektor lässt sich durch oder durch darstellen.

Ein Erzeugendensystem des reellen Koordinatenraums besteht aus den sogenannten Standardbasisvektoren . Tatsächlich lässt sich jeder Vektor durch

mit als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Weitere Erzeugendensysteme können durch Hinzunahme zusätzlicher „überflüssiger“ Vektoren erhalten werden. Insbesondere stellt auch die Menge aller Vektoren des ein Erzeugendensystem des dar. Es gibt auch Erzeugendensysteme, die die Vektoren nicht enthalten. Beispielsweise ist

ein Erzeugendensystem des , denn jeder Vektor lässt sich auch durch

darstellen.

Polynomraum Ein Beispiel eines nicht endlich erzeugten Vektorraums ist der Polynomraum der Polynome mit reellen Koeffizienten in einer Variablen . Ein Erzeugendensystem des ist die Menge der Monome . Dies ist ein Erzeugendensystem, weil sich jedes Polynom vom Grad als , also als (endliche) Linearkombination von Monomen darstellen lässt. Auch hier gibt es viele weitere Erzeugendensysteme, zum Beispiel die Legendre-Polynome oder die Tschebyschow-Polynome. Man kann aber zeigen, dass der Polynomraum kein endliches Erzeugendensystem besitzt.

Folgenraum Ein weiteres Beispiel eines nicht endlich erzeugten Vektorraums ist der Folgenraum der reellen Zahlenfolgen mit für . In diesem Fall stellt jedoch die naheliegende Wahl von

kein Erzeugendensystem von dar, weil sich nicht jede Folge als (endliche) Linearkombination der darstellen lässt. Dies ist lediglich für Folgen möglich, bei denen nur endlich viele Folgenglieder ungleich Null sind. Ein Erzeugendensystem von besteht zwangsläufig aus überabzählbar vielen Elementen.

Nullvektorraum Der Nullvektorraum , der nur aus dem Nullvektor besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

  und   .

Die leere Menge bildet ein Erzeugendensystem des Nullvektorraums, da die leere Summe von Vektoren per Definition den Nullvektor ergibt.

Minimalität Ein Erzeugendensystem heißt minimal, falls kein Vektor existiert, sodass weiterhin ein Erzeugendensystem von ist. Gemäß dem Basisauswahlsatz kann aus jedem nicht-minimalen Erzeugendensystem durch Weglassen „überflüssiger“ Elemente ein minimales Erzeugendensystem ausgewählt werden. Das ist leicht im Fall endlich-dimensionaler Vektorräume zu sehen, im Fall unendlich-dimensionaler Vektorräume benötigt man für den Beweis das Lemma von Zorn.

Ein minimales Erzeugendensystem besteht stets aus linear unabhängigen Vektoren. Wären nämlich die Vektoren in nicht linear unabhängig, dann gäbe es einen Vektor , der sich als Linearkombination von Vektoren in darstellen ließe. Dann ließe sich aber jede Linearkombination von Vektoren aus auch als Linearkombination von Vektoren in schreiben und wäre nicht minimal. Jedes minimale Erzeugendensystem stellt somit eine Basis des Vektorraums dar, das heißt, jeder Vektor des Raums lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

Erzeugte Untervektorräume Zu einer beliebigen Menge kann auch der von erzeugte Untervektorraum betrachtet werden. Zur Konstruktion von gibt es die folgenden beiden Verfahren.

Bei dem ersten Verfahren wird der Durchschnitt aller Untervektorräume von , die enthalten, betrachtet. Dies ist selbst ein Untervektorraum von , da der Durchschnitt einer nichtleeren Menge von Untervektorräumen wiederum ein Untervektorraum ist, und mit sich selbst zumindest einen Untervektorraum besitzt, der enthält. Dieser Untervektorraum ist der kleinste Untervektorraum im Sinne der Inklusion, der als Teilmenge enthält.

Bei dem zweiten Verfahren wird die Menge aller möglichen Linearkombinationen von Elementen der Menge betrachtet. Diese Menge wird die lineare Hülle von genannt und mit bezeichnet. Der Untervektorraum ist damit genau der von im Sinne der obigen Definition erzeugte Vektorraum. Die Menge ist also ein Erzeugendensystem von .

Erzeugendensysteme in der Gruppentheorie Definition Ist eine Gruppe, dann heißt eine Teilmenge ein Erzeugendensystem von , wenn sich jedes Element als endliches Produkt von Elementen aus und deren Inversen darstellen lässt. Das heißt, jedes Gruppenelement hat eine Darstellung der Form

mit und oder für . Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Eine Gruppe heißt endlich erzeugt, wenn sie ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Elementen besitzt.

Beispiele Gruppe der ganzen Zahlen Ein anschauliches Beispiel ist die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element . Die erlaubten Operationen sind hier die Addition von Zahlen und der Übergang zum Negativen einer Zahl. Diese Gruppe wird von der einelementigen Menge

erzeugt, denn jede positive Zahl lässt sich durch sukzessive Addition aus der gewinnen und alle weiteren durch . Analog ist auch

ein Erzeugendensystem von . Diese beiden Erzeugendensysteme sind minimal, denn ihre einzige echte Teilmenge ist die leere Menge, und diese stellt kein Erzeugendensystem für dar. Ein weiteres Erzeugendensystem ist

,

denn und durch wird bereits ganz erzeugt. Es ist sogar minimal, das heißt, keine echte Teilmenge von ist ein Erzeugendensystem. Dieses Beispiel zeigt, dass minimale Erzeugendensysteme nicht unbedingt von minimaler Mächtigkeit sein müssen, denn und sind Erzeugendensysteme von echt kleinerer Mächtigkeit. Im Allgemeinen wird von einer nicht-leeren Teilmenge erzeugt, wenn der größte gemeinsame Teiler aller Elemente aus den Betrag hat. Das zeigt der euklidische Algorithmus, denn dieser produziert als Nebenprodukt eine Darstellung von als ganze Linearkombination von Elementen aus (und jede solche Linearkombination wird von geteilt).

Zyklische Gruppen mini|Die Gruppe der fünften Einheitswurzeln ist zyklisch, jedes von verschiedene Element ist ein Erzeuger.

Besitzt eine Gruppe ein einelementiges Erzeugendensystem

,

dann nennt man die Gruppe zyklisch mit dem Erzeuger . Hier gilt dann

,

das heißt, die Gruppe besteht aus den ganzzahligen Potenzen des Erzeugers . Damit ist auch

ein Erzeugendensystem von . Die zyklischen Gruppen können vollständig klassifiziert werden. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine zyklische Gruppe mit genau Elementen und es gibt die unendliche zyklische Gruppe . Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph. Insbesondere ist isomorph zur obigen additiven Gruppe der ganzen Zahlen und ist isomorph zur Restklassengruppe mit der Addition (modulo ) als Verknüpfung. In dieser Restklassengruppe ist jede Zahl , die teilerfremd zu ist, ein Erzeuger. Ist prim, dann stellt sogar jede Zahl einen Erzeuger dar.

Diedergruppe mini|Die achtelementige Symmetrie­gruppe des Quadrats wird von der Drehung um 90° und der Spiegelung an einer Mittel­senkrechten erzeugt.

Ein Beispiel für eine Gruppe, die von mindestens zwei Elementen erzeugt wird, ist die Diedergruppe . Die Diedergruppe ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen -Ecks in der Ebene. Sie besteht aus Elementen, nämlich den Drehungen und den Spiegelungen . Die Drehung dreht das Polygon dabei um den Winkel und die Spiegelung spiegelt es an einer Achse, die im Winkel geneigt ist. Ein Erzeugendensystem der Diedergruppe ist

,

denn jede Drehung kann durch wiederholte Anwendung von dargestellt werden (die Drehungen bilden eine zyklische Untergruppe), das heißt , und jede Spiegelung durch Anwendung von und einer nachfolgenden Drehung, also . Die Spiegelung kann dabei auch durch eine beliebige andere Spiegelung ersetzt werden. Die Diedergruppe besitzt auch das Erzeugendensystem

bestehend aus zwei Spiegelungen, denn die Drehung hat die Darstellung und wurde bereits als Erzeugendensystem identifiziert. Statt bilden auch zwei beliebige benachbarte Spiegelungen ein Erzeugendensystem der Diedergruppe, denn es gilt auch .

Gruppen rationaler Zahlen Ein Beispiel für eine nicht endlich erzeugte Gruppe ist die Gruppe der rationalen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Diese Gruppe wird beispielsweise von der Menge der Stammbrüche

erzeugt. Sie lässt sich jedoch von keiner endlichen Menge rationaler Zahlen erzeugen. Zu jeder solchen Menge lässt sich nämlich eine weitere rationale Zahl finden, die sich nicht als Summe der Zahlen und ihrer Gegenzahlen darstellen lässt. Hierzu wird einfach der Nenner der Zahl teilerfremd zu den Nennern der Zahlen gewählt. Auch die Gruppe der positiven rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung ist nicht endlich erzeugt. Ein Erzeugendensystem dieser Gruppe ist die Menge der Primzahlen

.

Triviale Gruppe Die triviale Gruppe , die nur aus dem neutralen Element besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

  und   .

Die leere Menge bildet ein Erzeugendensystem der trivialen Gruppe, da das leere Produkt von Gruppenelementen per Definition das neutrale Element ergibt.

Symmetrie mini|Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b

Ein Erzeugendensystem heißt symmetrisch, wenn

gilt. Jedem endlichen, symmetrischen Erzeugendensystem einer Gruppe kann man seinen Cayley-Graphen zuordnen. Unterschiedliche endliche, symmetrische Erzeugendensysteme derselben Gruppe geben quasi-isometrische Cayley-Graphen, der Quasi-Isometrie-Typ des Cayley-Graphen ist also eine Invariante endlich erzeugter Gruppen.

Präsentation von Gruppen